题目内容

【题目】(2016湖北省荆州市第25题)阅读:我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的特征线.例如,点M(1,3)的特征线有:x=1,y=3,y=x+2,y=x+4.

问题与探究:如图,在平面直角坐标系中有正方形OABC,点B在第一象限,A、C分别在x轴和y轴上,抛物线经过B、C两点,顶点D在正方形内部.

(1)直接写出点D(m,n)所有的特征线;

(2)若点D有一条特征线是y=x+1,求此抛物线的解析式;

(3)点P是AB边上除点A外的任意一点,连接OP,将OAP沿着OP折叠,点A落在点A的位置,当点A在平行于坐标轴的D点的特征线上时,满足(2)中条件的抛物线向下平移多少距离,其顶点落在OP上?

【答案】(1)、x=m,y=n,y=x+nm,y=x+m+n;(2)、y=(x2)2+3;(3)、

【解析】

试题分析:(1)、根据特征线直接求出点D的特征线;(2)、由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标,从而求出抛物线解析式;(3)、分平行于x轴和y轴两种情况,由折叠的性质计算即可.

试题解析:(1)、点D(m,n), 点D(m,n)的特征线是x=m,y=n,y=x+nm,y=x+m+n;

(2)、点D有一条特征线是y=x+1, nm=1, n=m+1

抛物线解析式为 y=(xm)2+m+1,

四边形OABC是正方形,且D点为正方形的对称轴,D(m,n), B(2m,2m),

(2mm)2+n=2m,将n=m+1带入得到m=2,n=3; D(2,3), 抛物线解析式为y=(x2)2+3

(3)、如图,当点A在平行于y轴的D点的特征线时,

根据题意可得,D(2,3), OA=OA=4,OM=2, ∴∠AOM=60° ∴∠AOP=AOP=30°

MN== 抛物线需要向下平移的距离=3=

当点A在平行于x轴的D点的特征线时,

顶点落在OP上, A与D重合, A(2,3), 设P(4,c)(c>0),

由折叠有,PD=PA, =c, c= P(4, 直线OP解析式为y=

N(2,), 抛物线需要向下平移的距离=3=

抛物线向下平移距离,其顶点落在OP上.

考点(1)、折叠的性质;(2)、正方形的性质;(3)、特征线的理解

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