题目内容
【题目】(2016湖北省荆州市第25题)阅读:我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线”.例如,点M(1,3)的特征线有:x=1,y=3,y=x+2,y=﹣x+4.
问题与探究:如图,在平面直角坐标系中有正方形OABC,点B在第一象限,A、C分别在x轴和y轴上,抛物线经过B、C两点,顶点D在正方形内部.
(1)直接写出点D(m,n)所有的特征线;
(2)若点D有一条特征线是y=x+1,求此抛物线的解析式;
(3)点P是AB边上除点A外的任意一点,连接OP,将△OAP沿着OP折叠,点A落在点A′的位置,当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时,满足(2)中条件的抛物线向下平移多少距离,其顶点落在OP上?
【答案】(1)、x=m,y=n,y=x+n﹣m,y=﹣x+m+n;(2)、y=(x﹣2)2+3;(3)、或
【解析】
试题分析:(1)、根据特征线直接求出点D的特征线;(2)、由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标,从而求出抛物线解析式;(3)、分平行于x轴和y轴两种情况,由折叠的性质计算即可.
试题解析:(1)、∵点D(m,n), ∴点D(m,n)的特征线是x=m,y=n,y=x+n﹣m,y=﹣x+m+n;
(2)、点D有一条特征线是y=x+1, ∴n﹣m=1, ∴n=m+1
∵抛物线解析式为, ∴y=(x﹣m)2+m+1,
∵四边形OABC是正方形,且D点为正方形的对称轴,D(m,n), ∴B(2m,2m),
∴(2m﹣m)2+n=2m,将n=m+1带入得到m=2,n=3; ∴D(2,3), ∴抛物线解析式为y=(x﹣2)2+3
(3)、如图,当点A′在平行于y轴的D点的特征线时,
根据题意可得,D(2,3), ∴OA′=OA=4,OM=2, ∴∠A′OM=60°, ∴∠A′OP=∠AOP=30°,
∴MN==, ∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=.
当点A′在平行于x轴的D点的特征线时,
∵顶点落在OP上, ∴A′与D重合, ∴A′(2,3), 设P(4,c)(c>0),
由折叠有,PD=PA, ∴=c, ∴c=, ∴P(4,) ∴直线OP解析式为y=,
∴N(2,), ∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=,
抛物线向下平移或距离,其顶点落在OP上.
考点(1)、折叠的性质;(2)、正方形的性质;(3)、特征线的理解