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设a=sin60°,b=cos45°,c=tan30°,则a、b、c之间的大小关系是()
A.
c<b<a
B.
b<a<c
C.
a<c<b
D.
b<c<a
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A
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提出问题:小明是个爱思考的学生,在学习了三角函数后小明发现:
sin90°=1,
sin45°=
2
2
,90°是45°的两倍,但三角函数值却是
2
倍;
sin30°=
,sin60°=
,60°是30°的两倍,但三角函数值却是
倍,
考虑到cos45°,cos30°的三角函数值,估计sin2α=2sinαcosα,代入检验发现以上两组角度都符合.
解决问题:那么如何证明sin2α=2sinαcosα呢?
小明思考再三,发现在△ABC中(图2),高AD=ABsinB,可得
S
△ABC
=
1
2
BC•ABsinB
,
利用这个结论证明上述命题结论.聪明的你也能解决这个问题吗?
如图2,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,设∠BAD=α,求证:sin2α=2sinαcosα.
推广应用:解决了以上问题后,小明思考再三,终于发现了sin(α+β)与sinα,cosα,sinβ,cosβ的关系,
你能结合图3证明出自己所猜想的sin(α+β)与sinα,cosα,sinβ,cosβ的关系吗?
并利用上述关系求出sin75°的值(保留根号).
初中我们学过了正弦 余弦的定义,例如sin30°=
1
2
,同时也知道,sin(30°+30°)=sin60°≠sin30°+
sin30°,根据如图,设计一种方案,解决问题:
已知在任意的三角形ABC中,AD⊥BC,∠BAD=α,∠CAD=β,设AB=c,AC=b,BC=a
(1)用b,c及α,β表示三角形ABC的面积S;
(2)sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.
(2012•昌平区二模)类比学习:
有这样一个命题:设x、y、z都是小于1的正数,求证:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.
小明同学是这样证明的:如图,作边长为1的正三角形ABC,并分别在其边上截取AD=x,BE=z,CF=y,设△ADF、△CEF和△BDE的面积分别为S
1
、S
2
、S
3
,
则
S
1
=
1
2
x(1-y)sin60°
,
S
2
=
1
2
y(1-z)sin60°
,
S
3
=
1
2
z(1-x)sin60°
.
由 S
1
+S
2
+S
3
<S
△ABC
,得
1
2
x(1-y)sin60°
+
1
2
y(1-z)sin60°
+
1
2
z(1-x)sin60°
<
3
4
.
所以 x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.
类比实践:
已知正数a、b、c、d,x、y、z、t满足a+x=b+y=c+z=d+t=k.
求证:ay+bz+ct+dx<2k
2
.
设
a
=
sin
60°
,
b
=
cos
45
°,
c
=
tan
30°
,
则
a
、
b
、
c
之间的大小关系是
(
)
A
.
c
<
b
<
a
B
.
b
<
a
<
c
C
.
a
<
c
<
b
D
.
b
<
c
<
a
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