Question

初中我们学过了正弦 余弦的定义，例如sin30°=

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，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°，根据如图，设计一种方案，解决问题：
已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b，BC=a
（1）用b，c及α，β表示三角形ABC的面积S；
（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．

Answer 1

分析：（1）过点C作CE⊥AB于点E，根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；
（2）根据S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．

解答：解：（1）过点C作CE⊥AB于点E，
则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β），
∴S=

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AB•CE=

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c•bsin（α+β）=

1

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bcsin（α+β）；
即S=

1

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bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，
∵AD⊥BC，
∴

1

2

AB•ACsin（α+β）=

1

2

BD•AD+

1

2

CD•AD，
∴sin（α+β）=

BD•AD+CD•AD

AB•AC

，
=

BD

AB

•

AD

AC

+

AD

AB

•

BD

AC

，
=sinαcosβ+cosαsinβ．

点评：本题考查了正弦定理，正弦与余弦的概念，注意利用直角三角形，根据三角形的面积相等列式求解，难度不大．