取AC的中点O,过点O作MN∥EF,PQ∥EH,
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∵四边形EFGH是矩形,∴EH∥PQ∥FG,EF∥MN∥GH,∠E=∠H=90°。
∴PQ⊥EF,PQ⊥GH,MN⊥EH,MN⊥FG。
∵AB∥EF,BC∥FG,∴AB∥MN∥GH,BC∥PQ∥FG。
∴AL=BL,BK=CK。∴OL=
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BC=
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×8=4,OK=
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AB=
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×6=3,
∵矩形EFGH的各边分别与半圆相切,∴PL=
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AB=
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×6=3,KN=
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BC=
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×8=4。
在Rt△ABC中,
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,∴OM=OQ=
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AC=5。
∴EH=FG=PQ=PL+OL+OQ=3+4+5=12,EF=GH=MN=OM+OK+NK=5+3+4=12,
∴矩形EFGH的周长是:EF+FG+GH+EH=12+12+12+12=48。