Question

△ABM的三个内角∠M、∠A、∠B所对的边分别为m、a、b．若关于x的一元二次方程（m-a）x²+2bx+（m+a）=0有两个相等的实数根．
（1）判断△ABM的形状，并说明理由．
（2）若在直角坐标系中，△ABC的两顶点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐标恰好是方程组

y=k y=x2+4x+3

的两组解．若M在x轴上，△ABM可能是等腰三角形吗？若可能，求出点M的坐标；若不可能，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由根的判别式，可知一元二次方程等根时△=0，再根据勾股定理的逆定理判断△ABM的形状；
（2）根据△ABC的两顶点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐标恰好是方程组

y=k y=x2+4x+3

的两组解．可知若M在x轴上，△ABM是等腰三角形的M点的坐标是y=x²+4x+3的对称轴与x轴的交点．

解答：解：（1）△=4b²-4（m-a）（m+a）=4（b²-m²+a²）=0，
即：a²+b²=m²，
∴△ABM是直角三角形，且∠M是直角；
（2）∵△ABC的两顶点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐标恰好是方程组

y=k y=x2+4x+3

的两组解，
M在x轴上，△ABM是等腰三角形，
∴y=x²+4x+3的对称轴为x=-2，
∴点M的坐标为（-2，0）．

点评：本题考查了根的判别式和勾股定理的逆定理，同时考查了等腰三角形的性质，注意本题M点的坐标是y=x²+4x+3的对称轴与x轴的交点．