Question

如图，正方形EFGH内接于△ABC，设BC=

.

ab

（

.

ab

表示一个两位数），EF=c，三角形中高线AD=d，已知a，b，c，d恰好是从小到大的四个连续正整数，试求△ABC的面积．

Answer 1

分析：由题意可知：a、b、c、d为连续四个整数故可设为a，a+1，a+2，a+3，其中BC=11a+1，（1≤a≤8的正整数），易证△AEF∽△ABC，可得：

a+2

11a+1

=

1

a+3

解得a=1或a=5，可求得△ABC的面积为24或224．

解答：解：a、b、c、d为连续四个整数故可设为a，a+1，a+2，a+3，
∵BC=

.

ab

，
∴BC=11a+1，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴

EF

BC

=

AD-EH

AD

，
即

a+2

11a+1

=

1

a+3

，
解关于a的方程，得
a₁=1，a₂=5，
∴S_△ABC=

1

2

BC×AD=24，或S_△ABC=

1

2

BC×AD=224．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形面积公式、平行线分线段成比例定理的推论、解一元二次方程、相似三角形高的比等于相似比．