Question

【题目】已知在Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,点D为AB边的中点,∠EDF=90°,△EDF绕点D旋转,它的两边分别交AC,CB(或它们的延长线)于点E,F.当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时(如图①),易证S△DEF+S△CEF=S△ABC.

当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时,在图②和图③这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,S△DEF,S△CEF,S△ABC又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.

Answer 1

【答案】在题中图②的情况下成立.证明见解析；在题中图③情况下不成立,S△DEF,S△CEF,S△ABC的关系是S△DEF-S△CEF=S△ABC.

【解析】试题分析：

（1）如图，在图②中过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，证△DME≌△DNF即可知在图②中，图①中的结论仍然成立；

（2）如图，在图③中，连接CD，证△DCE≌△DBF即可得到S△DEF-S△CEF=S△ABC，由此可知图③中，图①中的结论不在成立，新的关系是：S△DEF-S△CEF=S△ABC；

试题解析：

（1）在图②中，S△DEF+S△CEF=S△ABC.这一结论仍然成立，理由如下：

过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，连接CD，

∴∠DME=∠DNF=90°，

又∵∠C=90°，

∴∠MDN=360°-90°-90°-90°=90°，

又∵∠EDF=90°，

∴∠MDE+∠EDN=∠EDN+∠NDF=90°，

∴∠MDE=∠NDF，

∵△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，AC=BC，

∴CD=AD=BD，∠ADC=∠BDC=90°，

∵DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，

∴DM=AC，DN=BC，

∴DM=DN，

∴△DME≌△DNF，

∴S四边形DMCN=S四边形DECF=S△DEF+S△CEF，

∵由①中结论可知，S△DEF+S△CEF=S△ABC，

∴在图②中，①中结论仍然成立；

（2）在图③中，①中结论不在成立，此时S△DEF-S△CEF=S△ABC，理由如下：

如图③，连接CD，

∵在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，AC=BC，

∴CD=BD，∠CDB=90°，∠ACD=∠ABC=45°，

∵∠EDF=90°，

∴∠CDE+∠EDB=∠EDB+∠BDF，

∴∠CDE=∠BDF，

∴△DCE≌△DBF，

∴S△DEF=S△DBF+S四边形DBFE

=S△DEC+S四边形DBFE

=S五边形DBFEC

=S△CEF+S△DBC

=S△CEF+S△DBC

=S△CEF+S△ABC,

∴S△DEF-S△CEF=S△ABC,

∴图③中，图①中的结论不在成立，新的结论是：S△DEF-S△CEF=S△ABC.