题目内容

如图，已知抛物线y=ax2-2ax+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（-1，0），O是坐标原点，且OC=3OA．点E为线段BC上的动点（点E不与点B，C重合），以E为顶点作∠OEF=45°，射线ET交线段OB于点F．
（1）求出此抛物线函数表达式，并直接写出直线BC的解析式；
（2）求证：∠BEF=∠COE；
（3）当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；
（4）点P为抛物线的对称轴与直线BC的交点，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以点A、M、N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）利用已知得出C点坐标，进而利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式；
（2）利用等腰直角三角形的性质以及三角形的外角知识得出∠BEF=∠COE；
（3）首先得出OE＞OF即OE≠OF，再利用当OE=EF时，当OF=EF时分别得出即可；
（4）①AP为边，此时P点纵坐标为2或-2，②AP为对角线，设M为（x，0）则N为（-x，-2）进而得出M点坐标．
解答：解：（1）∵点A的坐标是（-1，0），则AO=1，OC=3OA=3，
∴C为（0，-3）
∵抛物线过（-1，0）和（0，-3）
∴
a+2a+c=0
c=-3
∴
a=1
c=-3

∴此抛物线函数表达式为：y=x2-2x-3，
∵y=x2-2x-3=（x-3）（x+1），
∴B点坐标为：（3，0），
设BC直线解析式为：y=kx+b，
b=-3
3k+b=0
，
解得：
k=1
b=-3
，
直线BC的解析式：y=x-3；

（2）∵OB=OC=3
∴∠OCB=∠OBC=45°
又∵∠OEF+∠BEF=∠COE+∠OCB
且∠OEF=45°
∴∠BEF=∠COE；

（3）①∵∠OFE=∠BEF+∠OBC＞45°
∴∠OFE＞∠OEF
∴OE＞OF即OE≠OF．
②当OE=EF时，
在△COE和△BEF中
∠BEF=∠COE
∠OCE=∠EBF
OE=EF
，
∴△COE≌△BEF（AAS），
∴BE=CO=3．
过E作ED⊥x轴于D．
∴ED=BD=BEcos45°=
3
2
2
，
∴OD=3-
3
2
2
，
∴E为（3-
3
2
2
，-
3
2
2
）；
③当OF=EF时，则∠FOE=∠OEF=45°
∴∠OFE=90°．∴EF⊥OB．
∴E为BC的中点，∴E为(
3
2
，-
3
2
)．

（4）对称轴为x=1，
∴P为（1，-2）．
①AP为边，
此时P点纵坐标为2或-2，
令x2-2x-3=2
即x2-2x-5=0
∴x1=1+
6
，x2=1-
6
，
∴N为（1+
6
，2）或（1-
6
，2），
故M为（3+
6
，0）或（3-
6
，0），
令x2-2x-3=-2
即x2-2x-1=0，
∴x1=1+
2
，x2=1-
2
，
∴N为（1+
2
，2）或（1-
2
，2），
故M为（-1+
2
，0）或（-1-
2
，0），
②AP为对角线，
设M为（x，0）
则N为（-x，-2）
∴x2+2x-3=-2
x2+2x-1=0
∴x1=-1+
2
，x2=-1-
2
，
故M为（-1+
2
，0）或（-1-
2
，0），
综上所述：M为（3+
6
，0）或（3-
6
，0）或（-1+
2
，0）或（-1-
2
，0）．
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及平行四边形的性质和等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想得出是解题关键．
练习册系列答案
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-2＜x＜0
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