题目内容

【题目】抛物线C1yax2x+2a0)与x轴交于AB(点A在点B左侧),与y轴交于点C

1)如图1,若A20),连ACBC

直接写出C1的解析式及△ABC的面积;

将△AOC绕某一点逆时针旋转90°至△AOC′(其中AOC的对应点分别为A′、O′、C′).若旋转后的△AOC′恰有一边的两个端点落在抛物线C1的图象上,求点A′的坐标;

2)如图2,平移抛物线C1使平移后的新抛物线C2顶点在原点,P0)是x轴正半轴上一点,过P作直线交C2的图象于AB,过A的直线yx+bC2于点C,过Px轴的垂线交BC于点M,设点M的纵坐标为n,试判断an是否为定值?若是,求这个定值,若不是,说明理由.

【答案】1yx2x+22A′(62);(2an为定值,an

【解析】

1A20)代入yax2x+2a0),可得抛物线C1的解析式为:yx2x+2a0),求出C02),OC2B40),AB422,所以SABCABOC×2×22

C'Q'在抛物线C1上,当x3时,y=﹣,可得O'3,﹣),A'3);若C'A'在抛物线C1上,设C'tt+2),则A't+2t +4),将A'代入C1解得t4A′(62);

2)平移后的新抛物线C2的解析式为:yax2,设AP的直线解析式为ykx),联立ax2kx+0xA+xBxAxBxAxBxA+xB),联立ax2xb0xA+xCxCxA,直线BC的解析式为ypx+q,联立ax2pxq0xB+xCxBxC=﹣,可得xBxAxBxA)=﹣xBxA=﹣2q,由①②可得q,将M代入ypx+q,求得an

解:(1A20)代入yax2x+2a0),

得:04a3+2,解得:a

∴抛物线C1的解析式为:yx2x+2a0

x0,得y2

C02),OC2

y0,得x2x+20,解得:x12x24

B40),

AB422

SABCABOC×2×22

C'Q'在抛物线C1上,

C'O'CO2

∴当x3时,y=﹣

O'3,﹣),

A'3);

C'A'在抛物线C1上,设C'tt+2),则A't+2t+4),

A'代入C1得:t+22t+2+2t+4

解得t4

A′(62);

2)∵平移后的新抛物线C2顶点在原点,∴平移后的新抛物线C2的解析式为:yax2

AP的直线解析式为ykx),

联立ax2kx+0

xA+xBxAxB

xAxBxA+xB),

联立ax2xb0

xA+xCxCxA

设直线BC的解析式为ypx+q,联立ax2pxq0

xB+xCxBxC=﹣

xB+xA)=

xBxAxBxA)=﹣xBxA=﹣2q

①②可得q,将M代入ypx+q

nq+

an

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