题目内容
【题目】抛物线C1:y=ax2﹣x+2(a>0)与x轴交于A、B(点A在点B左侧),与y轴交于点C.
(1)如图1,若A(2,0),连AC、BC.
①直接写出C1的解析式及△ABC的面积;
②将△AOC绕某一点逆时针旋转90°至△A′O′C′(其中A、O、C的对应点分别为A′、O′、C′).若旋转后的△A′O′C′恰有一边的两个端点落在抛物线C1的图象上,求点A′的坐标;
(2)如图2,平移抛物线C1使平移后的新抛物线C2顶点在原点,P(,0)是x轴正半轴上一点,过P作直线交C2的图象于A、B,过A的直线y=x+b交C2于点C,过P作x轴的垂线交BC于点M,设点M的纵坐标为n,试判断an是否为定值?若是,求这个定值,若不是,说明理由.
【答案】(1)①y=x2﹣
x+2,2;②A′(6,2);(2)an为定值,an=
.
【解析】
(1)①将A(2,0)代入y=ax2﹣x+2(a>0),可得抛物线C1的解析式为:y=
x2﹣
x+2(a>0),求出C(0,2),OC=2B(4,0),AB=4﹣2=2,所以S△ABC=
ABOC=
×2×2=2;
②若C'、Q'在抛物线C1上,当x=3时,y=﹣,可得O'(3,﹣
),A'(3,
);若C'、A'在抛物线C1上,设C'(t,
﹣
t+2),则A'(t+2,
﹣
t +4),将A'代入C1解得t=4,A′(6,2);
(2)平移后的新抛物线C2的解析式为:y=ax2,设AP的直线解析式为y=k(x﹣),联立
,ax2﹣kx+
=0,xA
,xAxB=
,xAxB=
(xA+xB),联立
,ax2﹣x﹣b=0,xA+xC=
,xC=
﹣xA,直线BC的解析式为y=px+q,联立
,ax2﹣px﹣q=0,xB+xC=
,xBxC=﹣
,可得xB﹣xA=
①,xB(
﹣xA)=﹣
,xB﹣xA=﹣2q②,由①②可得q=
,将M代入y=px+q,求得an=
.
解:(1)①将A(2,0)代入y=ax2﹣x+2(a>0),
得:0=4a﹣3+2,解得:a=,
∴抛物线C1的解析式为:y=x2﹣
x+2(a>0)
令x=0,得y=2,
∴C(0,2),OC=2
令y=0,得x2﹣
x+2=0,解得:x1=2,x2=4,
∴B(4,0),
∴AB=4﹣2=2
∴S△ABC=ABOC=
×2×2=2;
②若C'、Q'在抛物线C1上,
∵C'O'=CO=2,
∴当x=3时,y=﹣,
∴O'(3,﹣),
∴A'(3,);
若C'、A'在抛物线C1上,设C'(t,﹣
t+2),则A'(t+2,
﹣
t+4),
将A'代入C1得:(t+2)2﹣
(t+2)+2=
﹣
t+4,
解得t=4,
∴A′(6,2);
(2)∵平移后的新抛物线C2顶点在原点,∴平移后的新抛物线C2的解析式为:y=ax2,
设AP的直线解析式为y=k(x﹣),
联立,ax2﹣kx+
=0,
∴xA+xB=,xAxB=
,
∴xAxB=(xA+xB),
联立,ax2﹣x﹣b=0,
∴xA+xC=,xC=
﹣xA,
设直线BC的解析式为y=px+q,联立,ax2﹣px﹣q=0,
∴xB+xC=,xBxC=﹣
,
∴xB+(﹣xA)=
,
∴xB﹣xA=①,xB(
﹣xA)=﹣
,xB﹣xA=﹣2q②,
由①②可得q=,将M代入y=px+q,
∴n=q+
=
,
∴an=.

【题目】某公司共有三个部门,根据每个部门的员工人数和相应每人所创的年利润绘制成如下的统计表和扇形图.
各部门人数及每人所创年利润统计表
部门 | 员工人数 | 每人所创的年利润/万元 |
A | 5 | 10 |
B | 8 | |
C | 5 |
(1)①在扇形图中,C部门所对应的圆心角的度数为___________;
②在统计表中,___________,
___________;
(2)求这个公司平均每人所创年利润.