题目内容
已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC运到，连结DP，作CN⊥DP于点M，且交直线AB于点N，连结OP，ON．(当P在线段BC上时，如图(1)：当P在BC的延长线上时，如图(2))
(1)请从图(1)，图(2)中任选一图证明下面结论：
①BN＝CP；
②OP＝ON，且OP⊥ON
(2)设AB＝4，BP＝x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系．
解析：
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分析：对于图(1)，证明线段相等，一般情况下找全等．根据BN，CP的分布情况，可以观察△CNB和△DPC，然后证明两三角形全等．也可以观察△CAN和△DBP，证明AN＝BP，从而有BN＝CP．至于以O、P、B、N为顶点的四边形的面积，则要把四边形分解为两个三角形去解决问题．
对于图(2)来说图型要稍微复杂一点，先证△PDB≌△NCA，得DP＝CN
再证△PDO≌△NCO，则有OP＝ON， 证明：对于图(1)，(1)①∵ABCD为正方形， ∴∠DCP＝90°，△DCP为Rt△， 同理：△CBN为Rt△， 而CM⊥DP ∴∠PCM＝∠CDP 在Rt△DCP与Rt△CBN中： ∠DCP＝∠CBN＝90° ∠CDP＝∠PCN CD＝BC ∴Rt△DCP≌Rt△CBN ∴CP＝BN ②而∠OCP＝∠OBN＝45° OC＝OB ∴△COP≌△BON ∴ON＝OP ∠COP＝∠BON 又∵OC⊥OB ∴∠COB＝∠COP＋∠POB＝90° ＝∠BON＋∠POB＝90° ∴ON⊥OP (2)S四边形OPBN＝S△ONB＋S△OPB ＝ 对于图(2)，(1)①∵ABCD为正方形，AC，BD为对角线， ∴∠DCP＝90°， 而CM⊥DP，∴∠PCM＝∠PDC ∴∠PDB＝∠ACN 又∵∠DPB＝∠ANC BD＝AC ∴△PDB≌△NCA ∴PB＝AN DP＝CN ∴CP＝BN ②而∠PDB＝∠ACN 且OD＝OC ∴△PDO≌△NCO ∴OP＝ON，∠DOP＝∠CON ∵∠DOC＝90°，∴∠PON＝∠NOC＋POC＝∠DOP＋∠POC ＝∠DOC＝90°，∴OP⊥ON． (2)S四边形OBNP＝S△OBP＋S△PBN ＝ 点评：这是一个动态几何问题，综合性程度高，图形也比较复杂，但我们只要仔细观察、冷静思考、多读几遍题目就会找到解决问题的突破口，千万不能轻易放弃． |
＝4(0＜x≤4)
(x≥4)提示：
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知识点考察：①正方形的性质，②三角形外角和定理，③全等三角形的判定， ④两线垂直的判定，⑤多边形的面积的分解，⑥函数解析式的确定， ⑦分段函数，⑧点到直线的距离． 能力考察：①观察能力，②逻辑思维与推理能力，③书写表达能力，④综合运用知识的能力，⑤分类讨论的能力． |
