题目内容

【题目】如图1,设D为锐角△ABC内一点,∠ADB=∠ACB+90°.

(1)求证:∠CAD+∠CBD=90°;

(2)如图2,过点BBE⊥BD,BE=BD,连接EC,若ACBD=ADBC,

求证:△ACD∽△BCE;

的值.

【答案】(1)详见解析;(2)①详见解析;②=.

【解析】

(1)如图1,延长CDABE,根据三角形外角的性质得到∠ADE=CAD+ACD,BDE=CBD+BCD,结合已知条件∠ADB=ACB+90°.即可证明.

(2)①∠CAD+CBD=90°,CBD+CBE=90°,根据同角的余角相等即可得到∠CAD=CBE,根据ACBD=ADBC,BD=BE,即可得到根据相似三角形的判定方法即可判定ACD∽△BCE;

②连接DE,根据BEBD,BE=BD,得到BDE是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得到分别判定ACD∽△BCE,ACB∽△DCE,根据相似三角形的性质得到

证明:(1)如图1,延长CDABE,

∵∠ADE=CAD+ACD,

BDE=CBD+BCD,

∴∠ADB=ADE+BDE=CAD+CBD+ACB,

∵∠ADB=ACB+90°.

∴∠CAD+CBD=90°;

(2)①如图2,∵∠CAD+CBD=90°,CBD+CBE=90°,

∴∠CAD=CBE,

ACBD=ADBC,BD=BE,

∴△ACD∽△BCE;

②如图2,连接DE,

BEBD,BE=BD,

∴△BDE是等腰直角三角形,

∵△ACD∽△BCE,

∴∠ACD=BCE,

∴∠ACB=DCE,

∴△ACB∽△DCE,

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