Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=-2．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，
（3）点P是抛物线对称轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出Q点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由方程x²-10x+16=0得，x₁=2，x₂=8，
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OB＜OC，
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8），
∵抛物线的对称轴是直线x=-2，
∴点A的坐标是（-6，0），
∵点A、B、C都在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴，
解得，
∴此抛物线的表达式为y=-x²-x+8；

（2）∵A（-6，0），B（2，0），AE的长为m，
∴AB=2-（-6）=2+6=8，BE=8-m，
S_△ABC=×8×8=32，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△ABC，
∴=（）²，
∴△BEF的面积=32×（8-m）²=（8-m）²，
由EF∥AC可得==，
等高的三角形的面积的比等于底边的比可得：==，
∴S=×（8-m）²=m（8-m）=-m²+4m（0＜m＜8），
又∵S=-m²+4m=-（m²-8m+16）+8=-（m-4）²+8，
∴当m=4时，S有最大值，最大值是8，
此时，OE=6-4=2，
∴点E的坐标为（-2，0）；

（3）存在点Q（-2，）或（6，-32）或（-10，-32），使得以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
理由如下：①很明显，当AB是对角线时，点Q在顶点时，以A、B、P、Q为顶点的四边形可以为平行四边形，
此时y=-x²-x+8=-（x+2）²++8=-（x+2）²+，
∴顶点坐标为（-2，），
即点Q的坐标为（-2，），
②当AB为边时，∵AB=8（已求），
∴PQ=8，
∵点P在对称轴x=-2上，
∴点Q的横坐标为6或-10，
当横坐标为6时，y=-×6²-×6+8=-32，
当横坐标是-10时，y=-×（-10）²-×（-10）+8=-32，
∴点Q的坐标为（6，-32）或（-10，-32），
故存在点Q（-2，）或（6，-32）或（-10，-32），使得以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
分析：（1）解一元二次方程求出点B、C的坐标，再根据二次函数的对称性求出点A的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）先表示出BE的长度并求出△ABC的面积，再判定△BEF和△ABC相似，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方表示出△BEF的面积，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比列式求解即可得到S与m的关系式，然后根据二次函数的最值问题解答即可；
（3）根据平行四边形的性质，分①AB是对角线时，根据二次函数的对称性，点Q是抛物线的顶点时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形；②AB是边时，根据平行四边形的对边相等先求出点Q的横坐标，然后代入抛物线解析式计算即可得解．
点评：本题综合考查了二次函数，主要有一元二次方程的解法，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，以及平行四边形的对边相等的性质，（3）注意要分AB是对角线与边两种情况讨论．