题目内容

【题目】如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上,且∠CBF= ∠CAB.

(1)求证:直线BF是⊙O的切线;
(2)若AB=5,sin∠CBF= ,求BC和BF的长.

【答案】
(1)证明:连接AE,

∵AB是⊙O的直径,

∴∠AEB=90°,

∴∠1+∠2=90°.

∵AB=AC,

∴∠1= ∠CAB.

∵∠CBF= ∠CAB,

∴∠1=∠CBF

∴∠CBF+∠2=90°

即∠ABF=90°

∵AB是⊙O的直径,

∴直线BF是⊙O的切线


(2)解:过点C作CG⊥AB于G.

∵sin∠CBF= ,∠1=∠CBF,

∴sin∠1=

∵在Rt△AEB中,∠AEB=90°,AB=5,

∴BE=ABsin∠1=

∵AB=AC,∠AEB=90°,

∴BC=2BE=2

在Rt△ABE中,由勾股定理得AE= =2

∴sin∠2= = = ,cos∠2= = =

在Rt△CBG中,可求得GC=4,GB=2,

∴AG=3,

∵GC∥BF,

∴△AGC∽△ABF,

∴BF= =


【解析】(1)出现直径时,常作的辅助线为连接直径的端点和圆上一点可构成90度圆周角;(2)通过“过点C作CG⊥AB”可转化∠CBF为∠1,利用其正弦,由BE=ABsin∠1,求出BC=2BE=2 ,由勾股定理和△AGC∽△ABF可求出BF.
【考点精析】认真审题,首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2),还要掌握圆周角定理(顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)的相关知识才是答题的关键.

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