题目内容
【题目】如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上,且∠CBF= ∠CAB.
(1)求证:直线BF是⊙O的切线;
(2)若AB=5,sin∠CBF= ,求BC和BF的长.
【答案】
(1)证明:连接AE,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∴∠1+∠2=90°.
∵AB=AC,
∴∠1= ∠CAB.
∵∠CBF= ∠CAB,
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径,
∴直线BF是⊙O的切线
(2)解:过点C作CG⊥AB于G.
∵sin∠CBF= ,∠1=∠CBF,
∴sin∠1= ,
∵在Rt△AEB中,∠AEB=90°,AB=5,
∴BE=ABsin∠1= ,
∵AB=AC,∠AEB=90°,
∴BC=2BE=2 ,
在Rt△ABE中,由勾股定理得AE= =2
,
∴sin∠2= =
=
,cos∠2=
=
=
,
在Rt△CBG中,可求得GC=4,GB=2,
∴AG=3,
∵GC∥BF,
∴△AGC∽△ABF,
∴
∴BF= =
【解析】(1)出现直径时,常作的辅助线为连接直径的端点和圆上一点可构成90度圆周角;(2)通过“过点C作CG⊥AB”可转化∠CBF为∠1,利用其正弦,由BE=ABsin∠1,求出BC=2BE=2 ,由勾股定理和△AGC∽△ABF可求出BF.
【考点精析】认真审题,首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2),还要掌握圆周角定理(顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)的相关知识才是答题的关键.
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