题目内容

(本题12分)△ABC中,∠A=∠B=30°,AB=.把△ABC放在平面直角坐标系中,使AB的中点位于坐标原点O (如图),△ABC可以绕点O作任意角度的旋转.

【小题1】(1) 当点B在第一象限,纵坐标是时,求点B的横坐标;
【小题2】(2) 如果抛物线的对称轴经过点C,请你探究:
①当时,AB两点是否都在这条抛物线上?并说明理由;
②设,是否存在这样的m的值,使AB两点不可能同时在这条抛物线上?若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由.



【小题1】(1)  ∵ 点OAB的中点, ∴ .        (1分)
设点B的横坐标是x(x>0),则,                          (2分)
解得 (舍去).
∴ 点B的横坐标是
【小题2】(2) ① 当时,得 (*) 
.                                            (5分)
以下分两种情况讨论.
情况1:设点C在第一象限(如图甲),则点C的横坐标为
.             (6分)
由此,可求得点C的坐标为(),    (7分)
A的坐标为(),
∵ AB两点关于原点对称,
∴ 点B的坐标为 ().
将点A的横坐标代入(*)式右边,计算得,即等于点A的纵坐标;
将点B的横坐标代入(*)式右边,计算得,即等于点B的纵坐标.
∴ 在这种情况下,AB两点都在抛物线上.                         (9分)
情况2:设点C在第四象限(如图乙),则点C的坐标为(,-),
A的坐标为(),点B的坐标为
().
经计算,AB两点都不在这条抛物线上.    (10分)
② 存在.m的值是1或-1.                                        (12分)
(,因为这条抛物线的对称轴经过点C,所以-1≤m≤1.当m=±1时,点Cx轴上,此时AB两点都在y轴上.因此当m=±1时,AB两点不可能同时在这条抛物线上)解析:
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