Question

【题目】已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b与x轴交于点A，与y轴交于点C．经过点A，C的抛物线y＝ax2+3ax﹣3与x轴的另一个交点为点B．

（1）如图1，求a的值；

（2）如图2，点D，E分别在线段AC，AB上，且BE＝2AD，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转得到线段DF，且旋转角∠EDF＝∠OAC，连接CF，求tan∠ACF的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，当∠DFC＝135°时，在线段AC的延长线上取点M，过点M作MN∥DE交抛物线于点N，连接DN，EM，若MN＝DF，求点N的横坐标．

Answer 1

【答案】（1）a＝；（2）；（3）．

【解析】

（1）求出点A（﹣4，0），将点A的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）证明△ADE≌△GFD，即可求解；

（3）证明△DET≌△MSN（AAS），则MS＝DT＝，NS＝ET＝ ，设点M（x，﹣x﹣3），则点N（x﹣， ），将点N的坐标代入二次函数表达式，即可求解．

解：（1）y＝ax2+3ax﹣3，当x＝0，y＝﹣3，故点C（0，﹣3），

将点C的坐标代入直线表达式并解得：b＝﹣3，

则直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，则点A（﹣4，0），

将点A的坐标代入二次函数表达式并解得：a＝；

（2）在直线AC上取点G使DG＝AE，连接FG，过点F作FH⊥AC，

∵∠FDC+∠FDE＝∠BAC+∠AED，而∠BAC＝∠EDF，

∴∠FDH＝∠AED，

而DG＝AE，DF＝DE，

∴△ADE≌△GFD，

∴AD＝GF，

∵AB＝AC＝5，BE＝2AD，

∴AD＝GF＝CG，

∵tan∠BAC＝ ，设FH＝3m，则HG＝4m，FG＝5m＝GC，

tan∠ACF＝ ；

（3）如图3，过点D作DR⊥FC交FC的延长线于点R，过点F作FH⊥CD交于点H，

由（2）知tan∠ACF＝ ，

在Rt△CDR中，设DR＝t，则CR＝3t，CD＝10t，

∵∠DFC＝135°，则△DFR是等腰直角三角形，则FR＝DR＝t，

CF＝CR﹣CF＝2t，

在Rt△FHC中，tan∠ACF＝，

则FH＝2t，CH＝6t，DH＝CD﹣CH＝10t﹣6t＝4t，

则tan∠FDH＝ ＝tan∠AED，

在Rt△ADT中，tan∠BAC＝ ，

设：DT＝3n，则AT＝4n，AD＝5n，

在Rt△DTE中，tan∠AED＝，

则ET＝2DT＝6n，BE＝2AD＝10n，

∵AT+TE+BE＝AB，即4n+6n+10n＝5，

解得：n＝，

则ET＝，DT＝；

∵MN＝EF＝DE，且MN∥DE，

∴四边形MNDE为平行四边形，∴∠DEM＝∠DNM，

过点N作x轴的平行线交直线AC于点K，过点M作MS⊥NK于点S，

则∠AEM＝∠KND，∴∠TED＝∠MNS，

而MN＝DE，∠ETD＝∠MSN＝90°，

∴△DET≌△MSN（AAS），

∴MS＝DT＝，NS＝ET＝，

设点M（x，﹣x﹣3），则点N（x﹣， ），

将点N的坐标代入二次函数表达式得：

解得： （舍去负值），

故点N的横坐标为： ．