题目内容

在平面直角坐标系中，一次函数 $数学公式$ 的图象分别与x轴、y轴交于点A、B．
（1）求点A、B的坐标；
（2）以AB为一边在第一象限内作等边△ABC，并作出△ABC的外接圆⊙M（尺规作图，不用写作法，但要保留作图痕迹）；
（3）若⊙M与x轴的另一个交点为点D，求点C，D及圆心M的坐标．

（1）解：由 $\text{[math]}$ ，分别令x、y为0，
求得点A的坐标为 $\text{[math]}$ ，点B的坐标为（0，1）

（2）如图，正确作出图形，保留作图痕迹

（3）由（1）∴在Rt△AOB中， $\text{[math]}$ ，OB=1
∴AB=2， $\text{[math]}$
∴∠OAB=30°
∵△ABC是等边三角形
∴CA=AB=2，∠CAB=60°
∴∠CAD=∠CAB+∠OAB=90°
∴点C的坐标为 $\text{[math]}$
连接BM，由△ABC是等边三角形及上述所证，BM∥OA且 $\text{[math]}$
∴点M的坐标为 $\text{[math]}$
设直线CD交直线AB于点N，由已知，可得CD⊥AB
则△ADN∽△ABO
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴点D的坐标为 $\text{[math]}$
分析：（1）令x、y分别等于0，求出一次函数 $\text{[math]}$ 与x轴、y轴的交点即点A、B的坐标；
（2）先以AB的长度为边长，画出等边△ABC，然后以等边△ABC任意两边的垂直平分线的交点为圆点，圆心到任一顶点为半径，作圆，即为△ABC的外接圆⊙M；
（3）先求出AB的长，再根据等边三角形的性质求出C点坐标，连接BM，根据平行线的性质求出M点坐标，再根据△ADN∽△ABO求出D点坐标．
点评：本题主要考查了一次函数的综合题，解答要注意数形结合数学思想的运用，作图要规范，是各地中考的热点，同学们要加强训练，属于中档题．