题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线l所在的直线的解析式为y=
x，点B坐标为（10，0）过B做BC⊥直线l，垂足为C，点P从原点出发沿x轴方向向点B运动，速度为1单位/s，同时点Q从点B出发沿B→C→原点方向运动，速度为2个单位/s，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）OC= ，BC= ；
（2）当t=5（s）时，试在直线PQ上确定一点M，使△BCM的周长最小，并求出该最小值；
（3）设点P的运动时间为t（s），△PBQ的面积为y，当△PBQ存在时，求y与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
【答案】（1）8，6；（2）16；（3）y=
．
【解析】
试题分析：（1）根据勾股定理，可得答案；
（2）根据线段垂直平分线的性质，可得直线PQ上的点到O、C的距离相等，根据两点之间线段最短，可得M点与P点重合，根据三角形的周长，可得答案；
（3）根据速度与时间的关系，可得OP，BQ，根据正切函数，可得QH，根据三角形的面积公式，可得答案．
解：（1）∵直线l所在的直线的解析式为y=
x，BC⊥直线l，
∴
=．
又∵OB=10，BC=3x，OC=4x，
∴（3x）2+（4x）2=102，
解得x=2，x=﹣2（舍），
OC=4x=8，BC=3x=6，
故答案为：8，6；
（2）如图1：
，
PQ是OC的垂直平分线，OB交PQ于P即M点与P点重合，
M与P点重合时△BCM的周长最小，
周长最小为=BM+PM+BC=OB+BC=10+6=16；
（3）①当0＜t≤3时，过Q作QH⊥OB垂足为H，如图2：
，
PB=10﹣t，BQ=2t，HQ=2tsinB=2tcos∠COB=2t×
=
t，
y=
PBQH=（10﹣t）t=﹣
t2+8t；
②当3＜t＜5时，过Q作QH⊥OB垂足为H，如图3：
，
PB=10﹣t，OQ=OC+BC﹣2t=14﹣2t，
QH=OQsin∠QOH=（14﹣2t）
=
（14﹣2t）=
﹣
t，
y=
PBQH=（10﹣t）（
﹣
t）=
t2﹣
t+42，
综上所述y=．
