Question

（2009•福州质检）已知直线y=x与函数y=（x＞0，k＞0）的图象交于点A，以坐标原点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，直线AB交x轴负半轴于B点，∠ABC=30°．
（1）画出满足题意的示意图；
（2）请用含π的代数式表示的值；（其中，S为△AOB面积，T为扇形AOC面积）
（3）设k取k₁时，△AOB面积为S₁，扇形AOC面积为T₁，k取k₂时，△AOB面积为S₂，扇形AOC面积为T₂…求-+-+…-+的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先确定点C的位置，再进一步画出30度的角确定点B的位置；
（2）首先根据直线和双曲线的解析式可以求得交点A的坐标，作AD⊥x轴于D，则得到等腰直角三角形AOD．根据勾股定理求得OA的长，即可表示出扇形的面积；要求OB的长，根据30度的直角三角形的性质求得BD的长，从而求得OB的长，即可表示出三角形的面积．最后求得比值；
（3）根据（2）的结论，不难看到它们之间的面积比是一个定值，利用抵消的方法即可求解．
解答：解：（1）画图正确（3分）


（2）由题意可得A点坐标为（，）过A作AD⊥x轴于D，（1分）
BO=-，AD=，OA=（1分）
∴△AOB的面积S=k（1分）
扇形AOC面积T=k（1分）
==
因此无论k值如何变化，的值都不变，==；（3分）

（3）-+-+-+==．
点评：注意：直线y=x即是第一、三象限的角平分线，可以出现等腰直角三角形．掌握等腰直角三角形和30度的直角三角形的性质，熟悉三角形和扇形的面积公式．