题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,把矩形沿对角线
所在的直线折叠,点
落在点
处,
与
轴相交于点
.矩形
的边
,
的长是关于
的一元二次方程
的两个根,且
.
(1)求线段,
的长;
(2)求证:,并求出线段
的长;
(3)直接写出点的坐标;
(4)若是直线
上一个动点,在坐标平面内是否存在点
,使以点
,
,
,
为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出
点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
【解析】
试题分析:(1)解方程即可得到结论;
(2)由四边形ABCO是矩形,得到AB=OC,∠ABC=∠AOC=90°,根据折叠的性质得到AD=AB,∠ADE=∠ABC=90°,根据全等三角形的判定得到△ADE≌△COE;根据勾股定理得到OE=3;
(3)过D作DM⊥x轴于M,则OE∥DM,根据相似三角形的性质得到CM=,DM=
,于是得到结论.
(4)过P1作P1H⊥AO于H,根据菱形的性质得到P1E=CE=5,P1E∥AC,设P1H=k,HE=2k,根据勾股定理得到P1E= k=5,于是得到P1(﹣
,2
+3),同理P3(
,3﹣2
),当A与F重合时,得到P2(4,5);当CE是菱形EP4CF4的对角线时,四边形EP4CF4是菱形,得到EP4=5,EP4∥AC,如图2,过P4作P4G⊥x轴于G,过P4作P4N⊥OE于N,根据勾股定理即可得到结论.
试题解析:(1)解方程x2﹣12x+32=0得,x1=8,x2=4,∵OA>OC,∴OA=8,OC=4;
(2)∵四边形ABCO是矩形,∴AB=OC,∠ABC=∠AOC=90°,
∵把矩形OABC沿对角线AC所在直线折叠,点B落在点D处,∴AD=AB,∠ADE=∠ABC=90°,
∴AD=OC,∠ADE=∠COE,在△ADE与△COE中, ,∴△ADE≌△COE;
∵CE2=OE2+OC2,即(8﹣OE)2=OE2+42,∴OE=3;
(3)过D作DM⊥x轴于M,则OE∥DM,
∴△OCE∽△MCD,∴ ,∴CM=
,DM=
,∴OM=
,
∴D(﹣,
);
(4)存在;∵OE=3,OC=4,∴CE=5,过P1作P1H⊥AO于H,∵四边形P1ECF1是菱形,∴P1E=CE=5,P1E∥AC,
∴∠P1EH=∠OAC,∴ =
,∴设P1H=k,HE=2k,∴P1E=
k=5,∴P1H=
,HE=2
,
∴OH=2+3,∴P1(﹣
,2
+3),同理P3(
,3﹣2
),
当A与F重合时,四边形F2ECP2是菱形,∴EF2∥CP2,EF2,=CP2=5,∴P2(4,5);
当CE是菱形EP4CF4的对角线时,四边形EP4CF4是菱形,∴EP4=5,EP4∥AC,
如图2,过P4作P4G⊥x轴于G,过P4作P4N⊥OE于N,则P4N=OG,P4G=ON,EP4∥AC,∴=
,
设P4N=x,EN=2x,∴P4E=CP4=x,∴P4G=ON=3﹣2x,CG=4﹣x,∴(3﹣2x)2+(4﹣x)2=(
x)2,
∴x= ,∴3﹣2x=
,∴P4(
,
),
综上所述:存在以点E,C,P,F为顶点的四边形是菱形,P(﹣,2
+3),(
,3﹣2
),(4,5),(
,
).
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