Question

【题目】已知CD为RtABC斜边AB上的高，以CD为直径的圆交BC于E点，交AC于F点，G为BD的中点．

（1）求证：GE为⊙O的切线；

（2）若tanB＝，AD＝5，求GE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）10

【解析】

（1）连DE、OE，利用圆周角定理可得∠CED＝∠BED＝90°，因为G为BD的中点，由直角三角形的性质可得GE＝GD，再由OE＝OD，易得∠OED＝∠ODE，可得∠GEO＝∠GDO，由CD⊥AB，可得∠GEO＝∠GDO＝90°，可得结论；

（2）首先由垂直的定义易得∠B＝∠ACD，利用锐角三角函数的定义即可得到结论．

（1）证明：连DE、OE，

∵CD为⊙O的直径，

∴∠CED＝∠BED＝90°，

∵G为BD的中点，

∴GE＝GD，

∴GED＝∠GDE，

∵OE＝OD，

∴∠OED＝∠ODE，

∴∠GEO＝∠GDO，

∴CD⊥AB，

∴∠GEO＝∠GDO＝90°，

∴GE为⊙O的切线；

（2）解：∵CD⊥AB，

∴∠ACD＝90°﹣∠A，

∵∠BCA＝90°，

∴∠B＝90°﹣∠A，

∴∠B＝∠ACD，

∵tanB＝＝＝tan∠DCA＝＝，

∴BD＝4AD＝20，

∵G为BD的中点，

∴EG＝BD＝10．