Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．
（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求 AE的长．
（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE-AD．

Answer 1

解：（1）作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE=BE，EM⊥AB，
∴AM=BM=×6=3；
∵EF⊥AF，
∴∠AME=∠MAF=∠AFE=90°，
∴四边形AMEF是矩形，
∴EF=AM=3；
在Rt△AFE中，AE==5；

（2）延长AF、BC交于点N．
∵AD∥EN，
∴∠DAF=∠N；
∵F是CD的中点，
∴DF=FC，
∵∠AFD=∠NFC，∴△ADF≌△NCF（AAS），
∴AD=CN；
∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，
又AE=BE，∠B=∠BAE，
∴∠N=∠EAN，AE=EN，
∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，
∴CE=BE-AD．
分析：（1）作辅助线EM⊥AB，交AB于点M．由已知条件“AE=BE，EM⊥AB”知，EM是等腰三角形AEB底边AB上的高线，所以AM=3，然后根据矩形的判定定理判定四边形AMEF是矩形，再由勾股定理在Rt△AFE中求得AE=5；
（2）延长AE、BC交于点N．根据△ADF≌△NCF（AAS）的对应边相等知AD=CN；又∠B+∠N=90°，∠BAE+∠AEN=90°，AE=BE，∠B=∠BAE，所以AE=EN，所以知BE=EN=EC+CN=EC+AD，即CE=BE-AD．
点评：本题综合考查了梯形、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及勾股定理．本题主要是通过作辅助线来构建矩形与全等三角形的．