Question

（2013•无锡）如图1，菱形ABCD中，∠A=60°，点P从A出发，以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止，点Q从A与P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止，设点P运动的时间为t（s）．△APQ的面积S（cm²）与t（s）之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出．
（1）求点Q运动的速度；
（2）求图2中线段FG的函数关系式；
（3）问：是否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据函数图象中E点所代表的实际意义求解．E点表示点P运动到与点B重合时的情形，运动时间为3s，可得AB=6cm；再由S_△APQ=

9 3

2

，可求得AQ的长度，进而得到点Q的运动速度；
（2）函数图象中线段FG，表示点Q运动至终点D之后停止运动，而点P在线段CD上继续运动的情形．如答图2所示，求出S的表达式，并确定t的取值范围；
（3）当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，如答图3所示，求出t的值；
当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如答图4所示，求出t的值．

解答：解：（1）由题意，可知题图2中点E表示点P运动至点B时的情形，所用时间为3s，则菱形的边长AB=2×3=6cm．
此时如答图1所示：

AQ边上的高h=AB•sin60°=6×

3

2

=3

3

cm，
S=S_△APQ=

1

2

AQ•h=

1

2

AQ×3

3

=

9 3

2

，解得AQ=3cm，
∴点Q的运动速度为：3÷3=1cm/s．

（2）由题意，可知题图2中FG段表示点P在线段CD上运动时的情形．如答图2所示：

点Q运动至点D所需时间为：6÷1=6s，点P运动至点C所需时间为12÷2=6s，至终点D所需时间为18÷2=9s．
因此在FG段内，点Q运动至点D停止运动，点P在线段CD上继续运动，且时间t的取值范围为：6≤t≤9．
过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，则PE=PD•sin60°=（18-2t）×

3

2

=-

3

t+9

3

．
S=S_△APQ=

1

2

AD•PE=

1

2

×6×（-

3

t+9

3

）=-3

3

t+27

3

，
∴FG段的函数表达式为：S=-3

3

t+27

3

（6≤t≤9）．

（3）菱形ABCD的面积为：6×6×sin60°=18

3

．
当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，如答图3所示．
此时△APQ的面积S=

1

2

AQ•AP•sin60°=

1

2

t•2t×

3

2

=

3

2

t²，
根据题意，得

3

2

t²=

1

6

×18

3

，
解得t=

6

s；

当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如答图4所示．
此时，有S_梯形ABPQ=

5

6

S_菱形ABCD，即

1

2

（2t-6+t）×6×

3

2

=

5

6

×18

3

，
解得t=

16

3

s．
∴存在t=

6

和t=

16

3

，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分．

点评：本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．