Question

已知函数y₁=x，y₂=x²+bx+c，α，β为方程y₁-y₂=0的两个根，点M（t，T）在函数y₂的图象上．
（Ⅰ）若α=

1

3

，β=

1

2

，求函数y₂的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数y₁与y₂的图象的两个交点为A，B，当△ABM的面积为

1

123

时，求t的值；
（Ⅲ）若0＜α＜β＜1，当0＜t＜1时，试确定T，α，β三者之间的大小关系，并说明理由．

Answer 1

（1）∵y₁=x，y₂=x²+bx+c，y₁-y₂=0，
∴x²+（b-1）x+c=0．
将α=

1

3

，β=

1

2

分别代入x²+（b-1）x+c=0，
得（

1

3

）²+（b-1）×

1

3

+c=0，（

1

2

）²+（b-1）×

1

2

+c=0，
解得b=

1

6

，c=

1

6

．
∴函数y₂的解析式为y₂=x²+

1

6

x+

1

6

．

（2）由已知得：A（

1

2

，

1

2

），B（

1

3

，

1

3

），得AB=

( 1 2 - 1 3 )2+( 1 2 - 1 3 )2

=

2

6

，
设△ABM的高为h，
∴S_△ABM=

1

2

AB•h=

2

12

h=

1

123

，即

2

h=

1

144

，
根据题意：|t-T|=

2

h，
由T=t²+

1

6

t+

1

6

，
得：|-t²+

5

6

t-

1

6

|=

1

144

，
当t²-

5

6

t+

1

6

=-

1

144

时，解得：t₁=t₂=

5

12

；
当t²-

5

6

t+

1

6

=

1

144

时，解得：t₃=

5- 2

12

，t₄=

5+ 2

12

；
∴t的值为：

5

12

，

5- 2

12

，

5+ 2

12

；

（3）由已知，得α=α²+bα+c，β=β²+bβ+c，T=t²+bt+c．
∴T-α=（t-α）（t+α+b）；
T-β=（t-β）（t+β+b）；
α-β=（α²+bα+c）-（β²+bβ+c），
化简得（α-β）（α+β+b-1）=0．
∵0＜α＜β＜1，得α-β≠0，
∴α+β+b-1=0．
有α+b=1-β＞0，β+b=1-α＞0．
又∵0＜t＜1，
∴t+α+b＞0，t+β+b＞0，
∴当0＜t≤a时，T≤α＜β；
当α＜t≤β时，α＜T≤β；
当β＜t＜1时，α＜β＜T．