题目内容

【题目】在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设锐角AOB=α,将DOC按逆时针方向旋转得到DOC(0°<旋转角<90°)连接AC、BD,AC与BD相交于点M.

(1)、当四边形ABCD为矩形时,如图1.求证:AOC′≌△BOD

(2)、当四边形ABCD为平行四边形时,设AC=kBD,如图2.

猜想此时AOCBOD有何关系,证明你的猜想;

探究AC与BD的数量关系以及AMB与α的大小关系,并给予证明.

【答案】(1)、证明过程见解析;(2)、BOD′∽△AOC,证明过程见解析;(2)、AC=kBDAMB=α,证明过程见解析.

【解析】

试题分析:(1)、根据矩形的性质得出OA=OC=OB=OD,根据旋转可得OD=OD,OC=OCDOD=COC,根据平角得出BOD=AOC,从而说明三角形全等;(2)、根据平行四边形的性质得出OB=OD,OA=OC,根据旋转得出OD=OD,OC=OCDOD=COC,根据平角的性质得出BOD=AOC,从而得出三角形相似;根据三角形相似的性质进行说明.

试题解析:(1)、在矩形ABCD中,AC=BD,OA=OC=AC,OB=OD=BD,

OA=OC=OB=OD,∵△DOCDOC旋转得到,OD=OD,OC=OCDOD=COC,

OB=OD=OA=OC180°DOD=180°COC, BOD=AOC

∴△BOD′≌△AOC

(2)、猜想:BOD′∽△AOC

在平行四边形ABCD中,OB=OD,OA=OC, ∵△DOCDOC旋转得到,

OD=OD,OC=OCDOD=COC, OB:OA=OD:OC,180°DOD=180°COC,

∴∠BOD=AOC ∴△BOD′∽△AOC

结论:AC=kBDAMB=α

∵△BOD′∽△AOC ,即AC=kBD

设BD与AC相交于点N,∵△BOD′∽△AOC∴∠OBM=OAM,

ANM与BNO中,又∵∠ANM=BNO,

180°OACANM=180°OBDBNO,

AMB=AOB=α

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