Question

（2013•金湾区模拟）如图，在△ABC中，AB=BC，以BC为直径作⊙0交AB于点E、交AC于点F，连结EF、BF、CE，BF与CE相交于点D，点G是EF的中点，连结0G．
（1）判断0G与EF的位置关系，直接写出你的结论（不需证明）；
（2）求证：EF=CF；
（3）若BF=2+2

2

，OG•FD=8-4

2

，求⊙O的面积．

Answer 1

分析：（1）由于点G是EF的中点，根据垂径定理的推论可得到OG垂直EF，即OG垂直平分EF；
（2）根据直径所对的圆周角为直角得到∠BFC=90°，再根据等腰三角形性质得到BF平分∠ABC，即∠ABF=∠CBF，然后根据圆周角定理得∠ABF=∠FCE，∠CBF=∠CEF，则∠FCE=∠CEF，再根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（3）连结OE、OF，先根据（1）的结论和等腰三角形的判定与性质得到OG平分∠EOF，则∠1=

1

2

∠EOF，再根据圆周角定理得到∠ECF=

1

2

∠EOF，所以∠1=∠DCF，于是可判断Rt△OGF∽Rt△CFD，利用相似比得OG•FD=CF•GF，而OG•FD=8-4

2

，GF=

1

2

EF，EF=CF，则CF•

1

2

CF=8-4

2

，即CF²=16-8

2

，接着根据勾股定理计算出BC，即可得到⊙的半径，然后根据圆的面积公式计算．

解答：（1）解：∵点G是EF的中点，
∴OG垂直EF；

（2）证明：∵BC为⊙0的直径，
∴∠BFC=90°，
∴BF⊥AC，
又∵AB=BC，
∴BF平分∠ABC，即∠ABF=∠CBF，
∵∠ABF=∠FCE，∠CBF=∠CEF，
∴∠FCE=∠CEF，
∴EF=CF；

（3）解：连结OE、OF，如图，
∵OG垂直平分EF，
∴OF=OE，∠OGF=90°，
∴OG平分∠EOF，
∴∠1=

1

2

∠EOF，
∵∠ECF=

1

2

∠EOF，
∴∠1=∠DCF，
∴Rt△OGF∽Rt△CFD，
∴OG：CF=GF：FD，即OG•FD=CF•GF，
∵OG•FD=8-4

2

，GF=

1

2

EF，EF=CF，
∴CF•

1

2

CF=8-4

2

，即CF²=16-8

2

，
在Rt△BFC中，BF=2+2

2

，
∴BC²=BF²+CF²=（2+2

2

）²+16-8

2

=28，
∴BC=2

7

，
∴OB=

7

∴⊙O的面积=π•（

7

）²=7π．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推论、圆周角定理及其推；善于运用勾股定理和相似比进行几何计算．