题目内容

解答下列各题：
（1）已知：关于x的方程2x²+kx-1=0一个根是-1，求k值及另一个根．
（2）若关于x的一元二次方程（a-2）x²-2ax+a+1=0没有实数根，求ax+3＞0的解集（用含a的式子表示）

解：（1）把x=-1代入原方程得2×（-1）²+k•（-1）-1=0
解得k=1
则方程变为：2x²+x-1=0
解之得 $\text{[math]}$
∴k值为1，方程的另一个根为 $\text{[math]}$ ．

（2）由题意知： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
解得a＜-2
由ax+3＞0得ax＞-3
∵a＜-2＜0
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）设另一根为x₁，根据一元二次方程根与系数的关系，-1+x₁=- $\text{[math]}$ ，-1•x₁=- $\text{[math]}$ ，联立解答即可；
（2）方程没有实数根，则△＜0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．
点评：本题考查了根的判别式的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
同时考查了利用一元二次方程根与系数的关系解题，可以使运算简便，应灵活运用．