Question

【题目】如图，已知直线l及其两侧两点A、B．

（1）在直线l上求一点O，使到A、B两点距离之和最短；
（2）在直线l上求一点P，使PA=PB；
（3）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接AB，线段AB交直线l于点O，

∵点A、O、B在一条直线上，
∴O点即为所求点；
（2）解：连接AB，分别以A、B两点为圆心，以任意长为半径作圆，两圆相交于C、D两点，连接CD与直线l相交于P点，连接BD、AD、BP、AP、BC、AC，

∵BD=AD=BC=AC，
∴△BCD≌△ACD，
∴∠BED=∠AED=90°，
∴CD是线段AB的垂直平分线，
∵P是CD上的点，
∴PA=PB；
（3）解：作B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l与点Q，连接BQ，

∵B与B′两点关于直线l对称，
∴BD=B′D，DQ=DQ，∠BDQ=∠B′DQ，
∴△BDQ≌△B′DQ，
∴∠BQD=∠B′QD，即直线l平分∠AQB．
【解析】此题主要考查了基本作图中线段垂直平分线的作法、两点之间线段最短等知识，利用线段垂直平分线的性质得出P点位置是解题关键．
【考点精析】通过灵活运用线段垂直平分线的判定，掌握和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上即可以解答此题．