题目内容
【题目】如图,四边形 是菱形,
B=6,且∠ABC=60° ,M是菱形内任一点,连接AM,BM,CM,则AM+BM+CM 的最小值为________。
【答案】
【解析】
以BM为边作等边△BMN,以BC为边作等边△BCE,如图,则△BCM≌△BEN,由全等三角形的对应边相等得到CM=NE,进而得到AM+MB+CM=AM+MN+NE.当A、M、N、E四点共线时取最小值AE.根据等腰三角形“三线合一”的性质得到BH⊥AE,AH=EH,根据30°直角三角形三边的关系即可得出结论.
以BM为边作等边△BMN,以BC为边作等边△BCE,则BM=BN=MN,BC=BE=CE,∠MBN=∠CBE=60°,∴∠MBC=∠NBE,∴△BCM≌△BEN,∴CM=NE,∴AM+MB+CM=AM+MN+NE.当A、M、N、E四点共线时取最小值AE.
∵AB=BC=BE=6,∠ABH=∠EBH=60°,∴BH⊥AE,AH=EH,∠BAH=30°,∴BH=AB=3,AH=
BH=
,∴AE=2AH=
.
故答案为:.

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