题目内容
【题目】 (2016镇江)如图1,一次函数y=kx﹣3(k≠0)的图象与y轴交于点A,与反比例函数(x>0)的图象交于点B(4,b).
(1)b= ;k= ;
(2)点C是线段AB上的动点(于点A、B不重合),过点C且平行于y轴的直线l交这个反比例函数的图象于点D,求△OCD面积的最大值;
(3)将(2)中面积取得最大值的△OCD沿射线AB方向平移一定的距离,得到△O′C′D′,若点O的对应点O′落在该反比例函数图象上(如图2),则点D′的坐标是 .
【答案】(1)1,1;(2);(3)D′(,).
【解析】
试题分析:(1)由点B的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出b值,进而得出点B的坐标,再将点B的坐标代入一次函数解析式中即可求出k值;
(2)设C(m,m﹣3)(0<m<4),则D(m,),根据三角形的面积即可得出S△OCD关于m的函数关系式,通过配方即可得出△OCD面积的最大值;
(3)由(1)(2)可知一次函数的解析式以及点C、D的坐标,设点C′(a,a﹣3),根据平移的性质找出点O′、D′的坐标,由点O′在反比例函数图象上即可得出关于a的方程,解方程求出a的值,将其代入点D′的坐标中即可得出结论.
试题解析:(1)把B(4,b)代入(x>0)中得:b==1,∴B(4,1),把B(4,1)代入y=kx﹣3得:1=4k﹣3,解得:k=1,故答案为:1,1;
(2)设C(m,m﹣3)(0<m<4),则D(m,),∴S△OCD===,∵0<m<4,<0,∴当m=时,△OCD面积取最大值,最大值为;
(3)由(1)知一次函数的解析式为y=x﹣3,由(2)知C(,﹣)、D(,).
设C′(a,a﹣3),则O′(a﹣,a﹣),D′(a,a+),∵点O′在反比例函数(x>0)的图象上,∴,解得:a=或a=﹣(舍去),经检验a=是方程的解,∴点D′的坐标是(,).