题目内容
【题目】（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）求出∠OED=∠BCA=90°，根据切线的判定即可得出结论；
（2）求出△BEC∽△BCA，得出比例式，代入求出即可．
试题解析：（1）证明：连接OE、EC．
∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC=∠BEC=90°．∵D为BC的中点，∴ED=DC=BD，∴∠1=∠2．∵OE=OC，∴∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OED=∠ACB．
∵∠ACB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）知：∠BEC=90°．在Rt△BEC与Rt△BCA中，∵∠B=∠B，∠BEC=∠BCA，∴△BEC∽△BCA，∴BE：BC=BC：BA，∴BC2=BEBA．∵AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x．∵BC=6，∴62=2x3x，解得：x=
，即AE=
，∴AB=
，∴AC=
=
，∴⊙O的半径=
．
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