题目内容

【题目】如图1,在△OAB中,∠OAB=90°∠AOB=30°OB=8.以OB为边,在△OAB

外作等边△OBCDOB的中点,连接AD并延长交OCE

1)求证:四边形ABCE是平行四边形;

2)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG,求OG的长.

【答案】1)见解析;(2OG=1.

【解析】

1)首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得DO=DA,再根据等边对等角可得∠DAO=DOA=30°,进而算出∠AEO=60°,再证明BCAECOAB,进而证出四边形ABCE是平行四边形.

2)设OG=x,由折叠可得:AG=GC=8-x,再利用三角函数可计算出AO,再利用勾股定理计算出OG的长即可.

解:(1)证明:在RtOAB中,DOB的中点,∴DO="DA"

∴∠DAO=DOA ="30°," EOA="90°" .∴∠AEO ="60°"

又∵△OBC为等边三角形,∴∠BCO=AEO =60°.∴BCAE

∵∠BAO=COA =90°,∴OCAB

∴四边形ABCE是平行四边形.

2)设OG=x,由折叠可知:AG=GC=8x

RtABO中,∵∠OAB =90°,∠AOB =30°OB=8,∴OA=OB·cos30°=8×=

RtOAG中,OG2+OA2=AG2,即,解得,

OG=1

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