Question

如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求证：直线CP是⊙O的切线．
（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．
（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．

Answer 1

（1）证明见解析（2）4（3）20

解：（1）∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，
∴2∠BCP+2∠BCA=180°。
∴∠BCP+∠BCA=90°，即∠PCA=90°。
又∵AC是⊙O的直径，∴直线CP是⊙O的切线。
（2）如图，作BD⊥AC于点D，
∵PC⊥AC，∴BD∥PC。∴∠PCB=∠DBC。
∵C=2，sin∠BCP=
∴，解得：DC=2。
∴由勾股定理得：BD=4。∴点B到AC的距离为4。
（3）如图，连接AN，
在Rt△ACN中，，
又CD=2，∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3。
∵BD∥CP，∴△ABD∽△ACP。
∴，即。∴。
在Rt△ACP中，。
∴△ACP的周长为。
（1））根据∠ABC=∠AC且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，得到2∠BCP+2∠BCA=180°，从而得到∠BCP+∠BCA=90°，证得直线CP是⊙O的切线。
（2）作BD⊥AC于点D，得到BD∥PC，从而利用求得DC=2，再根据勾股定理求得点B到AC的距离为4。
（3）先求出AC的长度，然后由BD∥PC求得△ABD∽△ACP，利用比例线段关系求得CP的长度，再由勾股定理求出AP的长度，从而求得△ACP的周长