Question

（1997•昆明）已知方程2x²+（a+2）x-2a+1=0，求当a是什么值时，两根的平方和等于3

1

4

？

Answer 1

分析：设方程两个为x₁，x₂，根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-

a+2

2

，x₁•x₂=

-2a+1

2

，由于x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=

13

4

，则（-

a+2

2

）²-2×

-2a+1

2

=

13

4

，解方程得a₁=-13，a₂=1，再分别把a的值代入方程求对应的判别式，然后根据判别式的意义确定满足条件的a的值．

解答：解：设方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

a+2

2

，x₁•x₂=

-2a+1

2

，
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=

13

4

，
∴（-

a+2

2

）²-2×

-2a+1

2

=

13

4

，
整理得a²+12a-13=0，解得a₁=-13，a₂=1，
当a=-13时，原方程化为2x²-11x+27=0，△=11²-4×2×27＜0，方程无实数根，所以a=-13舍去；
当a=1时，原方程化为2x²+3x-1=0，△=9-4×2×（-1）＞0，
故当a是1时，两根的平方和等于3

1

4

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程根的判别式．