Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE=AD，连接CE．

（1）求证：△ABD≌△ACE；

（2）若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明；

（3）在（2）的条件下，若BD=3，CF=4，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）结论：BD2+FC2=DF2．证明见解析；（3）.

【解析】

（1）根据SAS，只要证明∠1=∠2即可解决问题；

（2）结论：BD2+FC2=DF2．连接FE，想办法证明∠ECF=90°，EF=DF，利用勾股定理即可解决问题；

（3）过点A作AG⊥BC于G，在Rt△ADG中，想办法求出AG、DG即可解决问题.

（1）证明：如图，

∵AE⊥AD，

∴∠DAE=∠DAC+∠2=90°，

又∵∠BAC=∠DAC+∠1=90°，

∴∠1=∠2，

在△ABD和△ACE中

，

∴△ABD≌△ACE．

（2）结论：BD2+FC2=DF2．理由如下：

连接FE，∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠3=45°

由（1）知△ABD≌△ACE

∴∠4=∠B=45°，BD=CE

∴∠ECF=∠3+∠4=90°，

∴CE2+CF2=EF2，

∴BD2+FC2=EF2，

∵AF平分∠DAE，

∴∠DAF=∠EAF，

在△DAF和△EAF中

，

∴△DAF≌△EAF

∴DF=EF

∴BD2+FC2=DF2．

（3）过点A作AG⊥BC于G，

由（2）知DF2=BD2+FC2=32+42=25

∴DF=5，

∴BC=BD+DF+FC=3+5+4=12，

∵AB=AC，AG⊥BC，

∴BG=AG=BC=6，

∴DG=BG-BD=6-3=3，

∴在Rt△ADG中，AD=．