题目内容
如图PAB、PCD是⊙O的两条割线，AB是⊙O的直径．（1）如图甲，若PA=8，PC=10，CD=6．
①求sin∠APC的值；②sin∠BOD=
（2）如图乙，若AC∥OD．①求证：CD=BD；②若
| PA |
| PC |
| 4 |
| 5 |
．
分析：（1）作OE⊥CD于E，连接OC，作DF⊥PB于F．根据垂径定理和勾股定理求得有关线段的长，再进一步根据锐角三角函数的概念求解；
（2）根据圆周角定理的推论和等弧对等弦进行证明，根据平行线等分线段定理进行求解．
（2）根据圆周角定理的推论和等弧对等弦进行证明，根据平行线等分线段定理进行求解．
解答：解：（1）作OE⊥CD于E，连接OC，作DF⊥PB于F．
①根据垂径定理，得CE=3．设圆的半径是r．
根据勾股定理，得
OP2-PE2=OC2-CE2，
（8+r）2-169=r2-9，
解得r=6．
则OE=3
．
则sin∠APC=
=
；
②设OF=x．
根据勾股定理，得
PD2-PF2=OD2-OF2，
256-（14+x）2=36-x2，
解得x=
．
所以DF=
．
所以sin∠BOD=
=
．
（2）①∵AC∥OD，
∴∠1=∠2．
又OA=OD，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
所以弧CD=弧BD，
所以CD=BD；
②∵AC∥OD，
∴
=
=
．
又CD=BD，AB=2OA，
∴
=
．
∴cos∠BAD=
=
．
①根据垂径定理，得CE=3．设圆的半径是r．
根据勾股定理，得
OP2-PE2=OC2-CE2，
（8+r）2-169=r2-9，
解得r=6．
则OE=3
| 3 |
则sin∠APC=
| OE |
| OP |
3
| ||
| 14 |
②设OF=x．
根据勾股定理，得
PD2-PF2=OD2-OF2，
256-（14+x）2=36-x2，
解得x=
| 6 |
| 7 |
所以DF=
2
| ||
| 7 |
所以sin∠BOD=
| DF |
| OD |
| ||
| 21 |
（2）①∵AC∥OD，
∴∠1=∠2．
又OA=OD，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
所以弧CD=弧BD，
所以CD=BD；
②∵AC∥OD，
∴
| CD |
| OA |
| PC |
| PA |
| 5 |
| 4 |
又CD=BD，AB=2OA，
∴
| BD |
| AB |
| 5 |
| 8 |
∴cos∠BAD=
| AD |
| AB |
| ||
| 8 |
点评：此题综合运用了垂径定理、勾股定理、圆周角定理的推论、等弧对等弦、平行线等分线段定理等，有一定的难度．
练习册系列答案
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14、如图，P是⊙O外一点，PAB、PCD是⊙O的割线，分别交⊙O于点A、B、C、D，PO⊥BD，垂足为M．根据以上条件，写出三个正确结论：
，试求cos∠BAD的值
．