题目内容
如图PAB、PCD是⊙O的两条割线,AB是⊙O的直径.
(1)如图甲,若PA=8,PC=10,CD=6.
①求sin∠APC的值;②sin∠BOD=______;
(2)如图乙,若AC∥OD.①求证:CD=BD;②若
,试求cos∠BAD的值
.
解:(1)作OE⊥CD于E,连接OC,作DF⊥PB于F.
①根据垂径定理,得CE=3.设圆的半径是r.
根据勾股定理,得![](http://thumb.1010pic.com/pic5/upload/201310/5286347822669.png)
OP2-PE2=OC2-CE2,
(8+r)2-169=r2-9,
解得r=6.
则OE=3
.
则sin∠APC=
=
;
②设OF=x.
根据勾股定理,得
PD2-PF2=OD2-OF2,
256-(14+x)2=36-x2,
解得x=
.
所以DF=
.
所以sin∠BOD=
=
.
(2)①∵AC∥OD,
∴∠1=∠2.
又OA=OD,
∴∠2=∠3.
∴∠1=∠3.
所以弧CD=弧BD,
所以CD=BD;
②∵AC∥OD,
∴
=
.
又CD=BD,AB=2OA,
∴
=
.
∴cos∠BAD=
=
.
分析:(1)作OE⊥CD于E,连接OC,作DF⊥PB于F.根据垂径定理和勾股定理求得有关线段的长,再进一步根据锐角三角函数的概念求解;
(2)根据圆周角定理的推论和等弧对等弦进行证明,根据平行线等分线段定理进行求解.
点评:此题综合运用了垂径定理、勾股定理、圆周角定理的推论、等弧对等弦、平行线等分线段定理等,有一定的难度.
①根据垂径定理,得CE=3.设圆的半径是r.
根据勾股定理,得
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/upload/201310/5286347822669.png)
OP2-PE2=OC2-CE2,
(8+r)2-169=r2-9,
解得r=6.
则OE=3
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/21.png)
则sin∠APC=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/209252.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/3173.png)
②设OF=x.
根据勾股定理,得
PD2-PF2=OD2-OF2,
256-(14+x)2=36-x2,
解得x=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/9777.png)
所以DF=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/313251.png)
所以sin∠BOD=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/313252.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/313253.png)
(2)①∵AC∥OD,
∴∠1=∠2.
又OA=OD,
∴∠2=∠3.
∴∠1=∠3.
所以弧CD=弧BD,
所以CD=BD;
②∵AC∥OD,
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/313254.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/1180.png)
又CD=BD,AB=2OA,
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/9120.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/5192.png)
∴cos∠BAD=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/9119.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/156347.png)
分析:(1)作OE⊥CD于E,连接OC,作DF⊥PB于F.根据垂径定理和勾股定理求得有关线段的长,再进一步根据锐角三角函数的概念求解;
(2)根据圆周角定理的推论和等弧对等弦进行证明,根据平行线等分线段定理进行求解.
点评:此题综合运用了垂径定理、勾股定理、圆周角定理的推论、等弧对等弦、平行线等分线段定理等,有一定的难度.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目