题目内容
如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D.
(1)求证:CD为⊙O的切线;
(2)若DC=4,AC=5,求⊙O的直径的AE.
(1)求证:CD为⊙O的切线;
(2)若DC=4,AC=5,求⊙O的直径的AE.
(1)证明:连接OC.
∵OC=OA,
∴∠OAC=∠OCA.
∵AC平分∠PAE,
∴∠DAC=∠OAC,
∴∠DAC=∠OCA,
∴AD∥OC.
∵CD⊥PA,
∴∠ADC=∠OCD=90°,
即CD⊥OC,点C在⊙O上,
∴CD是⊙O的切线.
(2)过O作OM⊥AB于M.即∠OMA=90°,
∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°,
∴四边形DMOC是矩形,
∴OC=DM,OM=CD=4.
∵DC=4,AC=5,
∴AD=3,
设圆的半径为x,则AM=x-AD=x-3,
∵在Rt△AMO中,∠AMO=90°,根据勾股定理得:AO2=AM2+OM2.
∴x2=(x-3)2+42,
∴x=
∴⊙O的半径是
,
∴⊙O的直径的AE=2×
=
.
∵OC=OA,
∴∠OAC=∠OCA.
∵AC平分∠PAE,
∴∠DAC=∠OAC,
∴∠DAC=∠OCA,
∴AD∥OC.
∵CD⊥PA,
∴∠ADC=∠OCD=90°,
即CD⊥OC,点C在⊙O上,
∴CD是⊙O的切线.
(2)过O作OM⊥AB于M.即∠OMA=90°,
∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°,
∴四边形DMOC是矩形,
∴OC=DM,OM=CD=4.
∵DC=4,AC=5,
∴AD=3,
设圆的半径为x,则AM=x-AD=x-3,
∵在Rt△AMO中,∠AMO=90°,根据勾股定理得:AO2=AM2+OM2.
∴x2=(x-3)2+42,
∴x=
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∴⊙O的半径是
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∴⊙O的直径的AE=2×
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