Question

（本题满分10分）（1）探究新知：


①如图，已知AD∥BC，AD＝BC，点M，N是直线CD上任意两点．试判断△ABM与△ABN的面积是否相等。 
②如图，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点．试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由．  
（2）结论应用：   
如图③，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D．试探究在抛物线上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？ 若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：﹙1﹚相等       ---------------------1分
②相等．理由如下：分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K．
则∠DHA＝∠EKB＝90°．∵AD∥BE，∴∠DAH＝∠EBK．∵AD＝BE，
∴△DAH≌△EBK． ∴DH＝EK． ∵CD∥AB∥EF，   
∴S_△ABM＝，S_△ABG＝，  ∴ S_△ABM＝ S_△ABG. -------------4分
﹙2﹚答：存在．---------------------5分
解：因为抛物线的顶点坐标是C(1，4)，所以，可设抛物线的表达式为.
又因为抛物线经过点A(3，0)，将其坐标代入上式，得，解得.
∴ 该抛物线的表达式为，即．
∴ D点坐标为（0，3）．
设直线AD的表达式为，代入点A的坐标，得，解得.
∴ 直线AD的表达式为．   ---------------------7分
过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H．则H点的纵坐标为．
∴ CH＝CG－HG＝4－2＝2．
设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为．   
过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为，EF∥CG．
由﹙1﹚可知：若EP＝CH，则△ADE与△ADC的面积相等．

①若E点在直线AD的上方﹙如图③-1﹚，
则PF＝，EF＝．
∴ EP＝EF－PF＝＝．∴ ． 
解得，．
当时，PF＝3－2＝1，EF＝1+2＝3． ∴ E点坐标为（2，3）．  
同理 当m＝1时，E点坐标为（1，4），与C点重合． 
②若E点在直线AD的下方﹙如图③－2,③－3﹚，
则．
∴．解得，． 
当时，E点的纵坐标为；   
当时，E点的纵坐标为．  
∴ 在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E₁（2，3）；；．--------------10分

解析此题有较强的综合性，难度较大。代数与几何兼有，既有几何中的三角形全等、平行线的性质，又有代数中的二次函数。