题目内容

【题目】如图,在正方形ABCD中,点EF分别在边ADCD上,

1)若AB6AECF,点EAD的中点,连接AEBF

如图1,求证:BEBF3

如图2,连接AC,分别交AEBFMM,连接DMDN,求四边形BMDN的面积.

2)如图3,过点DDHBE,垂足为H,连接CH,若∠DCH22.5°,则的值为   (直接写出结果).

【答案】1)①详见解析;②12;(2.

【解析】

1)①先求出AE3,进而求出BE,再判断出△BAE≌△BCF,即可得出结论;

②先求出BD6,再判断出△AEM∽△CMB,进而求出AM2,再判断出四边形BMDN是菱形,即可得出结论;

2)先判断出∠DBH22.5°,再构造等腰直角三角形,设出DH,进而得出HGBG,即可得出BH,结论得证.

解:(1)①∵四边形ABCD是正方形,

ABBCAD6,∠BAD=∠BCD90°

∵点E是中点,

AEAD3

RtABE中,根据勾股定理得,BE3

在△BAE和△BCF中,

∴△BAE≌△BCFSAS),

BEBF

BEBF3

②如图2,连接BD

RtABC中,ACAB6

BD6

∵四边形ABCD是正方形,

ADBC

∴△AEM∽△CMB

AMAC2

同理:CN2

MNACAMCN2

由①知,△ABE≌△CBF

∴∠ABE=∠CBF

ABBC,∠BAM=∠BCN45°

∴△ABM≌△CBN

BMBN

AC是正方形ABCD的对角线,

ABAD,∠BAM=∠DAM45°

AMAM

∴△BAM≌△DAM

BMDM

同理:BNDN

BMDMDNBN

∴四边形BMDN是菱形,

S四边形BMDNBD×MN×6×212

2)如图3,设DHa

连接BD

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠BCD90°

DHBH

∴∠BHD90°

∴点BCDH四点共圆,

∴∠DBH=∠DCH22.5°

BH上取一点G,使BGDG

∴∠DGH2DBH45°

∴∠HDG45°=∠HGD

HGHDa

RtDHG中,DGHDa

BGa

BHBG+HGA+A=(+1a

故答案为:

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