Question

已知抛物线y＝ax²＋2x＋3(a≠0)有如下两个特点：①无论实数a怎样变化，其顶点都在某一条直线l上；②若把顶点的横坐标减少，纵坐标增大分别作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加，纵坐标增加分别作为点B的横、纵坐标，则A，B两点也在抛物线y＝ax²＋2x＋3(a≠0)上．

(1)求出当实数a变化时，抛物线y＝ax²＋2x＋3(a≠0)的顶点所在直线l的解析式；

(2)请找出在直线上但不是该抛物线顶点的所有点，并说明理由；

(3)你能根据特点②的启示，对一般二次函数y＝ax²＋bx＋x(a≠0)提出一个猜想吗？请用数学语言把你的猜想表达出来，并给予证明．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)取，得抛物线， 　　其顶点为． 　　取，得抛物线， 　　其顶点为． 　　由题意有在直线上，设直线的解析式为 　　，则 　　解得： 　　∴直线的解析式为． 　　(2)∵抛物线的顶点P坐标为． 　　显然P在直线上． 　　又能取到除0以外的所有实数， 　　∴在上仅有一点(0，3)不是该抛物线的顶点． 　　(3)猜想：对于抛物线，将其顶点的横坐标减少，纵坐标增加分别作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加，纵坐标增加分别作为点B的横、纵坐标，则A，B两点也在抛物线上． 　　证明如下： 　　∵抛物线的顶点坐标为()， 　　∴点A的坐标为， 　　点B的坐标为． 　　∵时， 　　∴点A在抛物线， 　　同理有B也在抛物线上，故结论成立．