题目内容

【题目】在Rt△ABC中,∠C=90°,Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置,点E在斜边AB上,连结BD,过点D作DF⊥AC于点F.
(1)如图1,若点F与点A重合,求证:AC=BC;
(2)若∠DAF=∠DBA,
①如图2,当点F在线段CA的延长线上时,判断线段AF与线段BE的数量关系,并说明理由;
②当点F在线段CA上时,设BE=x,请用含x的代数式表示线段AF.

【答案】
(1)

解:由旋转得,∠BAC=∠BAD,

∵DF⊥AC,

∴∠CAD=90°,

∴∠BAC=∠BAD=45°,

∵∠ACB=90°,

∴∠ABC=45°,

∴AC=CB.


(2)

解:①由旋转得,AD=AB,

∴∠ABD=∠ADB,

∵∠DAF=∠ABD,

∴∠DAF=∠ADB,

∴AF∥BB,

∴∠BAC=∠ABD,

∵∠ABD=∠FAD

由旋转得,∠BAC=∠BAD,

∴∠FAD=∠BAC=∠BAD= ×180°=60°,

由旋转得,AB=AD,

∴△ABD是等边三角形,

∴AD=BD,

在△AFD和△BED中,

∴△AFD≌△BED,

∴AF=BE,

②如图,

由旋转得,∠BAC=∠BAD,

∵∠ABD=∠FAD=∠BAC+∠BAD=2∠BAD,

由旋转得,AD=AB,

∴∠ABD=∠ADB=2∠BAD,

∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°,

∴∠BAD+2∠BAD+2∠BAD=180°,

∴∠BAD=36°,

设BD=x,作BG平分∠ABD,

∴∠BAD=∠GBD=36°

∴AG=BG=BC=x,

∴DG=AD﹣AG=AD﹣BG=AD﹣BD,

∵∠BDG=∠ADB,

∴△BDG∽△ADB,

∵∠FAD=∠EBD,∠AFD=∠BED,

∴△AFD∽△BED,

∴AF= x.


【解析】(1)由旋转得到∠BAC=∠BAD,而DF⊥AC,从而得出∠ABC=45°,最后判断出△ABC是等腰直角三角形;
    (2)①由旋转得到∠BAC=∠BAD,再根据∠DAF=∠DBA,从而求出∠FAD=∠BAC=∠BAD=60°,最后判定△AFD≌△BED,即可;②根据题意画出图形,先求出角度,得到△ABD是顶角为36°的等腰三角形,再用相似求出, ,最后判断出△AFD∽△BED,代入即可.此题是几何变换综合题,主要考查了,等腰直角三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,相似三角形的性质和判定,旋转的性质,解本题的关键是求出顶角为36°的等腰三角形的腰与底的比值,也是本题的难点.
【考点精析】利用相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方.

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