题目内容
【题目】在Rt△ABC中,∠C=90°,Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置,点E在斜边AB上,连结BD,过点D作DF⊥AC于点F.
(1)如图1,若点F与点A重合,求证:AC=BC;
(2)若∠DAF=∠DBA,
①如图2,当点F在线段CA的延长线上时,判断线段AF与线段BE的数量关系,并说明理由;
②当点F在线段CA上时,设BE=x,请用含x的代数式表示线段AF.
【答案】
(1)
解:由旋转得,∠BAC=∠BAD,
∵DF⊥AC,
∴∠CAD=90°,
∴∠BAC=∠BAD=45°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ABC=45°,
∴AC=CB.
(2)
解:①由旋转得,AD=AB,
∴∠ABD=∠ADB,
∵∠DAF=∠ABD,
∴∠DAF=∠ADB,
∴AF∥BB,
∴∠BAC=∠ABD,
∵∠ABD=∠FAD
由旋转得,∠BAC=∠BAD,
∴∠FAD=∠BAC=∠BAD= ×180°=60°,
由旋转得,AB=AD,
∴△ABD是等边三角形,
∴AD=BD,
在△AFD和△BED中,
,
∴△AFD≌△BED,
∴AF=BE,
②如图,
由旋转得,∠BAC=∠BAD,
∵∠ABD=∠FAD=∠BAC+∠BAD=2∠BAD,
由旋转得,AD=AB,
∴∠ABD=∠ADB=2∠BAD,
∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°,
∴∠BAD+2∠BAD+2∠BAD=180°,
∴∠BAD=36°,
设BD=x,作BG平分∠ABD,
∴∠BAD=∠GBD=36°
∴AG=BG=BC=x,
∴DG=AD﹣AG=AD﹣BG=AD﹣BD,
∵∠BDG=∠ADB,
∴△BDG∽△ADB,
∴ .
∴ ,
∴ ,
∵∠FAD=∠EBD,∠AFD=∠BED,
∴△AFD∽△BED,
∴ ,
∴AF= x.
【解析】(1)由旋转得到∠BAC=∠BAD,而DF⊥AC,从而得出∠ABC=45°,最后判断出△ABC是等腰直角三角形;
(2)①由旋转得到∠BAC=∠BAD,再根据∠DAF=∠DBA,从而求出∠FAD=∠BAC=∠BAD=60°,最后判定△AFD≌△BED,即可;②根据题意画出图形,先求出角度,得到△ABD是顶角为36°的等腰三角形,再用相似求出, ,最后判断出△AFD∽△BED,代入即可.此题是几何变换综合题,主要考查了,等腰直角三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,相似三角形的性质和判定,旋转的性质,解本题的关键是求出顶角为36°的等腰三角形的腰与底的比值,也是本题的难点.
【考点精析】利用相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方.
