Question

如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．

（1）①点B的坐标是　　；②∠CAO=　 　度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为　 　；（直接写出答案）
（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．
（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．

Answer 1

解：（1）①（6，2）。 ②30。③（3，3）。
（2）存在。m=0或m=3﹣或m=2。
（3）当0≤x≤3时，
如图1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；

由题意可知直线l∥BC∥OA，
可得，∴EF=（3+x），
此时重叠部分是梯形，其面积为：

当3＜x≤5时，如图2，


当5＜x≤9时，如图3，


当x＞9时，如图4，

。
综上所述，S与x的函数关系式为：
。

矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。
（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标：
∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，
∵A（6，0）、C（0，2），∴点B的坐标为：（6，2）。
②由正切函数，即可求得∠CAO的度数：
∵，∴∠CAO=30°。
③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；如图：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，

∵∠PQO=60°，D（0，3），∴PE=3。
∴。
∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点P的坐标为（3，3）。
（2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案：
情况①：

MN=AN=3，则∠AMN=∠MAN=30°，
∴∠MNO=60°。
∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点N与Q重合。
∴点P与D重合。∴此时m=0。
情况②，如图AM=AN，作MJ⊥x轴、PI⊥x轴。
MJ=MQ•sin60°=AQ•sin60⁰
 

 

又，
∴，解得：m=3﹣。
情况③AM=NM，此时M的横坐标是4.5，
过点P作PK⊥OA于K，过点M作MG⊥OA于G，

∴MG=。
∴。
∴KG=3﹣0.5=2.5，AG= AN=1.5。∴OK=2。∴m=2。
综上所述，点P的横坐标为m=0或m=3﹣或m=2。
（3）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案。