题目内容

已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 $数学公式$ 的图象交于点P（2，1），与x轴交于点E，与y轴交于点F，O是坐标原点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）能否在反比例函数 $数学公式$ 的图象上找到一点H，使△HOE的面积与△EOF的面积
相等？如果能，请求出点H的坐标；如果不能，请说明理由．

解：（1）把P（2，1）代入y= $\text{[math]}$ 得：k=2，
故反比例函数的解析式是y= $\text{[math]}$ ，
把点P（2，1），k=2代入一次函数y=kx+b得，2×2+b=1，
解得b=-3．
所以，一次函数的解析式为y=2x-3；

（2）令y=0，则2x-3=0，解得x= $\text{[math]}$ ，
令x=0，则y=-3，
所以，点E（ $\text{[math]}$ ，0），F（0，-3），
∴OE= $\text{[math]}$ ，OF=3，
设点H到x轴的距离为h，
则S_△HOE= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ h= $\text{[math]}$ h，S_△EOF= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×3= $\text{[math]}$ ，
所以， $\text{[math]}$ h= $\text{[math]}$ ，
解得h=3，
即点H的纵坐标的绝对值是3，
当H的纵坐标是负数时， $\text{[math]}$ =-3，解得x=- $\text{[math]}$ ，
当点H的纵坐标是正数时， $\text{[math]}$ =3，解得x= $\text{[math]}$ ，
所以，点H的坐标为（- $\text{[math]}$ ，-3）或（ $\text{[math]}$ ，3）．
分析：（1）把点P的坐标代入反比例函数解析式求出k的值，再把k的值与点P的坐标代入一次函数解析式计算求出b的值，即可得解；
（2）利用直线解析式求出E、F的坐标，从而得到OE、OF的长度，然后根据三角形的面积求出点H到x轴的距离，再分点H纵坐标为负数与正数两种情况解答．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，主要利用了待定系数法求反比例函数解析式，求一次函数解析式，（1）一次函数与反比例函数的比例系数都是k是解题的关键，（2）要注意分点H的纵坐标是负数与正数两种情况讨论．