Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M．

（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；

（2）若点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），当P在什么位置时，以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，请求出此时点P的坐标；

（3）若点P为直线FG上一个动点，Q为抛物线上任一点，抛物线的顶点为N，探究以P、Q、M、N为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣x2+3x+4；(2) P坐标是（2，4）；(3)见解析.

【解析】

（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；

（2）根据等腰三角形的定义，分OP=OC，PC=OC，OP=PC三种情况即可求得P的坐标；

（3）设点P为（x，x+2）Q（x，-x2+3x+4），则PQ=-x2+2x+2，根据PQNM是平行四边形，则PQ=MN，即可求得PM的长，判断是否成立，从而确定P的坐标．

（1）∵B（-1，0）E（0，4）C（4，0）

设解析式是y=ax2+bx+c

可得，解得

∴y=-x2+3x+4；

（2）∵点A坐标是（-2，0），点D坐标是（0，2）

直线AD的解析式是y=x+2，

设点P坐标是（x，x+2），

当OP=OC时，x2+（x+2）2=16解得x＝1±（x＝1不符合，舍去）此时点P（1+，3+），

当PC=OC时，（x+2）2+（4-x）2=16方程无解，

当PO=PC时，点P在OC的中垂线上，

∴点P横坐标是2，得点P坐标是（2，4），

∴当△POC是等腰三角形时，点P坐标是（1+，3+）或（2，4）；

（3） ，，，