题目内容
【题目】如图,在平行四边形ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B,F为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于一点P,连接AP并延长交BC于点E,连接EF.
(1)求证:四边形ABEF是菱形.
(2)设AE与BF相交于点O,四边形ABEF的周长为16,BF=4,求AE的长和∠C的度数.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)根据尺规作图得到直线AE是线段BF的垂直平分线,∠FAE=∠BAE,根据线段垂直平分线的性质、菱形的判定定理证明;
(2)根据菱形的周长求出菱形的边长,得到△ABF是等边三角形,根据等边三角形的性质、勾股定理计算即可.
解:(1)由尺规作图的过程可知,直线AE是线段BF的垂直平分线,∠FAE=∠BAE,
∴AF=AB,EF=EB,
∵AD∥BC,
∴∠FAE=∠AEB,
∴∠AEB=∠BAE,
∴BA=BE,
∴BA=BE=AF=FE,
∴四边形ABEF是菱形;
(2)∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠BAD=∠C
∵菱形ABEF的周长为16,
∴AF=AB=4,又BF=4,
∴△ABF是等边三角形,
∴∠ABF=60°,AO=AB=2
∴∠C=60°,AE=4
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