题目内容

【题目】如图,在平行四边形ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点BF为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于一点P,连接AP并延长交BC于点E,连接EF

1)求证:四边形ABEF是菱形.

2)设AEBF相交于点O,四边形ABEF的周长为16BF4,求AE的长和∠C的度数.

【答案】(1)见解析;(2.

【解析】

1)根据尺规作图得到直线AE是线段BF的垂直平分线,∠FAE=BAE,根据线段垂直平分线的性质、菱形的判定定理证明;

2)根据菱形的周长求出菱形的边长,得到△ABF是等边三角形,根据等边三角形的性质、勾股定理计算即可.

解:(1)由尺规作图的过程可知,直线AE是线段BF的垂直平分线,∠FAE=∠BAE

AFABEFEB

ADBC

∴∠FAE=∠AEB

∴∠AEB=∠BAE

BABE

BABEAFFE

∴四边形ABEF是菱形;

2)∵四边形ABCD是平行四边形

∴∠BAD=∠C

∵菱形ABEF的周长为16

AFAB4,又BF4

∴△ABF是等边三角形,

∴∠ABF60°AOAB2

∴∠C60°AE4

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