Question

如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S₁、S₂，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线.

（1）如图2，在△ABC中，∠A=36⁰°，AB=AC，∠C的平分线交AB于点D，请问点D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论；
（2）若△ABC在（1）的条件下，如图（3），请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；
（3）如图4，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=90⁰，对角线AC、BD交于点F，延长AB、DC交于点E，连接EF交梯形上、下底于G、H两点，请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线，并证明你的结论.

Answer 1

（1）点D是AB边上的黄金分割点（2）直线CD是△ABC的黄金分割线（3）GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线

解：（1）点D是AB边上的黄金分割点，证明如下：
∵∠A=36⁰°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=72⁰。
∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=36⁰。∴∠BDC=∠B=72⁰。
∵∠A=∠BCD，∠B=∠B，∴△BCD∽△BAC。∴。
又∵BC=CD=AD，∴。
∴点D是AB边上的黄金分割点。
（2）直线CD是△ABC的黄金分割线，证明如下：
设△ABC的边AB上的高为h，则，
∴。
∵D是AB的黄金分割点，∴。∴。
∴直线CD是△ABC的黄金分割线。
（3）GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线，证明如下：
∵BC∥AD，∴△EBG∽△EAH，△EGC∽△EHD。∴。
∴，即。
同理，由△BGF∽△DHF，△CGF∽△AHF得，即。
∴。∴AH=HD。∴BG=GC。
∴梯形ABGH与梯形GHDH上下底分别相等，高也相等。
∴。
∴GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线。
（1）由等腰三角形角和边的关系，根据△BCD∽△BAC得到而证明。
（2）根据黄金分割线的定义证明直线CD是△ABC的黄金分割线。
（3）反复应用相似三角形的相似比得出梯形ABGH与梯形GHDH上下底分别相等，高也相等的结论，从而得到GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线的结论。