题目内容

在平面直角坐标系中,抛物线轴的两个交点分别为A(-3,0)、B(1,0),过顶点CCHx轴于点H.

(1)直接填写:=         b=         ,顶点C的坐标为         

(2)在轴上是否存在点D,使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由;

(3)若点Px轴上方的抛物线上一动点(点P与顶点C不重合),PQAC于点Q,当△PCQ与△ACH相似时,求点P的坐标.

解:(1),顶点C的坐标为(-1,4)

(2)假设在y轴上存在满足条件的点D,  过点CCEy轴于点E.

由∠CDA=90°得,∠1+∠2=90°.  又∠2+∠3=90°,

∴∠3=∠1.  又∵∠CED=∠DOA =90°,

∴△CED ∽△DOA,∴.

D(0,c),则.

变形得,解之得.

综合上述:在y轴上存在点D(0,3)或(0,1),

使△ACD是以AC为斜边的直角三角形.

(3)①若点P在对称轴右侧(如图①),只能是△PCQ∽△CAH,得∠QCP=∠CAH.

延长CPx轴于M,∴AM=CM,  ∴AM2=CM2.

Mm,0),则( m+3)2=42+(m+1)2,∴m=2,即M(2,0).

设直线CM的解析式为y=k1x+b1

, 解之得.

∴直线CM的解析式.

联立,解之得(舍去).∴.

 ②若点P在对称轴左侧(如图②),只能是△PCQ∽△ACH,得∠PCQ=∠ACH.

ACA的垂线交PC于点F,作FNx轴于点N.

      由△CFA∽△CAH

由△FNA∽△AHC.

      ∴, 点F坐标为(-5,1).

设直线CF的解析式为y=k2x+b2,则,解之得.

∴直线CF的解析式.

联立 ,解之得 或  (舍去).  ∴.

∴满足条件的点P坐标为

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