题目内容
【题目】如图1，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与
轴交于
两点， 
为抛物线的顶点， 
为坐标原点，过点
作
交抛物线于点
. 若
的长分别是方程
的两根，且
（1）求抛物线对应的二次函数解析式和点
的坐标。
（2）若点M为x轴正半轴上一个动点，N为线段AC上的一个动点，连接MN、CM，是否存在这样的点M，使△AMN为直角三角形和△CMN为等腰三角形同时成立，如果存在，请求出所有符合条件的点M的坐标，如果不存在，请说明理由。
（3如图2，过点
任作直线
交线段
于点
求
到直线
的距离分别为
，请直接写出
的最大值．
图1 图2
【答案】（1）
；（2）M1（11-6
，0），M2（5,0）；（3） 4
.
【解析】试题分析：（1）通过解方程即可求得OA、OB的长，从而得到点A、B的坐标，由于A、B关于抛物线的对称轴对称，且∠DAB=45°，那么△DAB是等腰直角三角形，即可利用点A、B的坐标求得点D的坐标，然后根据待定系数法求得抛物线的解析式；由于AC⊥AD，且∠DAB=45°，则∠CAB=45°，作CH⊥x轴，设出点C的纵坐标，那么其横坐标应为m-1，然后将C点坐标代入抛物线的解析式中，即可求得点C的坐标；
（2）分两种情况：①∠AMN=90°②∠ANM=90°讨论即可；
（3）易得AC、AD的长，由于△ACD是直角三角形，那么ACAD=APd1+APd2，由此可得d1+d2=
，过A作AM⊥CD于M，利用△ACD的面积可求得AM的长，在Rt△APM中，AP≥AM，故d1+d2≤
，而AC、AD、AM的长都已求得，由此可确定d1+d2的最大值．
试题解析：（1）解方程x2-4x+3=0得：x=1或x=3，而OA＜OB，
则点A地坐标为（—1,0），
点B地坐标为（3，0），
∵A、B关于抛物线对称轴对称，
∴△DAB是等腰三角形，而∠DAB=45°，
∴△DAB是等腰直角三角形，得D（1，-2），
令抛物线对应的二次函数解析式为y=a（x-1）2-2，
∵抛物线过点A，
∴0=4a-2，得a=
，
故抛物线对应的二次函数解析式为y=
(x-1)2-2（或写成y=
x2-x-
,或y=
(x+1)(x—3)）；
∵CA⊥AD，∠DAC=90°，又∵∠DAB=45°，
∴∠CAB=45°，
作CH⊥x轴，
则CH=AH，
设CH=AH=m，则OH=m-1，
∴C的坐标为（m-1，m），
代入抛物线解析式，解得：m1=6，m2=0（舍去）
故点C的坐标为（5，6）；
（2）由（1）得AC=6
，
①若∠AMN=90°,
则∠MNC=135°，
故CN=MN，设MN=n，
则MN=CN=n，AN=
n，
则
n+n=6
，n=12-6
，
∴M1（11-6
，0）.
②若∠ANM=90°，
则∠MNC=90°，
又MN=CN，则∠ACM=45°，∠AMC=90°，
∴AM=CM=6,
∴OM=5，
∴M2（5,0）；
（3）∵AC=6
，而AD=2
，
∴DC=
=4
；
过A作AM⊥CD，
又∵
AC×AD=
DC×AM，
∴AM=
，
又∵S△ADC=S△APD+S△APC
∴
×AC×AD=
AP×d1+
AP×d2，
d1+d2=
=24×
=4
；
即此时d1+d2的最大值为4
.
