题目内容

已知:在菱形ABCD中,∠BAD=60°,把它放在直角坐标系中,使AD边在y轴上,点C的坐标为(2
3
,8

(1)画出符合题目条件的菱形与直角坐标系.
(2)写出A,B两点的坐标.
(3)设菱形ABCD的对角线的交点为P,问:在y轴上是否存在一点F,使得点P与点F关于菱形ABCD的某条边所在的直线对称,如果存在,写出点F的坐标;如果不存在,请说明理由.
分析:(1)本题可分两种情况,如图;
(2)过C作CF⊥y轴于F,∠CDF=60°,CF=2
3
,因此DF=2,CD=4.因此OA=OF-AF=8-(4+2)=2,因此A点坐标为(0,2).由于菱形的边长为4,因此将C点坐标向下平移4个单位就是B点的坐标(2
3
,4);
(3)在(2)中所作的F点其实就是P点关于CD的对称点,理由:根据菱形的性质可知:∠FAC=30°,因此在直角三角形FAC中,FC=
1
2
AC=PC,而∠DCF=∠DCP=30°,因此△CFE≌△CPE,因此CD垂直平分PF,即可得出P、F关于CD对称.
解答:解:本题有两种情况:
第一种情况:(1)画图,如图所示.
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(2)过C作CF⊥y轴于F,∠CDF=60°,CF=2
3

∵tan60°=
FC
DF
=
3

2
3
DF
=
3

∴DF=2,
CD=4.因此OA=OF-AF=8-(4+2)=2,因此A点坐标为(0,2).
由于菱形的边长为4,因此将C点坐标向下平移4个单位就是B点的坐标(2
3
,4);
则A(0,2),B(2
3
,4).
(3)F(0,8);

第二种情况:(1)画图,如图所示.
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(2)A′(0,14),B′(2
3
,12)
(3)F′(0,8).
点评:本题主要考查了菱形的性质、坐标与图形的性质、轴对称图形等知识点.
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