题目内容

已知:在菱形ABCD中,O是对角线BD上的一动点.
(1)如图甲,P为线段BC上一点,连接PO并延长交AD于点Q,当O是BD的中点时,求证:OP=OQ;
(2)如图乙,连接AO并延长,与DC交于点R,与BC的延长线交于点S.若AD=4,∠DCB=60°,BS=10,求AS和OR的长.
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分析:(1)求简单的线段相等,可证线段所在的三角形全等,即证△ODQ≌△OBP.
(2)首先求AS的长,要通过构建直角三角形求解;过A作BC的垂线,设垂足为T,在Rt△ABT中,易证得∠ABT=∠DCB=60°,又已知了斜边AB的长,通过解直角三角形可求出AT、BT的长;进而可在Rt△ATS中,由勾股定理求出斜边AS的值;由于四边形ABCD是菱形,则AD∥BC,易证得△ADO∽△SBO,已知了AD、BS的长,根据相似三角形的对应边成比例线段可得出OA、OS的比例关系式,即可求出OA、OS的长;同理,可通过相似三角形△ADR和△SCR求得AR、RS的值;由OR=OS-RS即可求出OR的长.
解答:(1)证明:∵四边形ABCD为菱形,
∴AD∥BC.
∴∠OBP=∠ODQ
∵O是BD的中点,
∴OB=OD
在△BOP和△DOQ中,
∵∠OBP=∠ODQ,OB=OD,∠BOP=∠DOQ
∴△BOP≌△DOQ(ASA)
∴OP=OQ.

(2)解:如图,过A作AT⊥BC,与CB的延长线交于T.
精英家教网∵ABCD是菱形,∠DCB=60°
∴AB=AD=4,∠ABT=60°
∴在Rt△ATB中,AT=ABsin60°=2
3

TB=ABcos60°=2
∵BS=10,
∴TS=TB+BS=12,
在Rt△ATS中,
∴AS=
AT2+TS2
=2
39

∵AD∥BS,
∴△AOD∽△SOB.
AO
OS
=
AD
SB
=
4
10
=
2
5

AS-OS
OS
=
2
5

AS
OS
=
7
5

∵AS=2
39

∴OS=
5
7
AS=
10
39
7

同理可得△ARD∽△SRC.
AR
RS
=
AD
SC
=
4
6
=
2
3

AS-SR
RS
=
2
3

AS
RS
=
5
3

RS=
3
5
AS=
6
39
5

∴OR=OS-RS=
10
39
7
-
6
39
5
=
8
39
35
.(12分)
点评:此题考查了菱形的性质、全等三角形及相似三角形的判定和性质;(2)中能够正确的构建出直角三角形,求出AS的长是解答此题的关键.
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